Немного неоднозначная задача, нужно найти кинетическую и потенциальную энергию, хотя не сказано с какого именно положения нужно вести отсчет времени. Я выберу это положение сам.
И еще вопрос, что понимается под амплитудой колебаний? Пусть это будет максимальной высотой подъема тела (#)
По закону сохранения энергии
(*)
где
h - амплитуда, т.е. максимальная высота подъема качели
x(t) - высота качели как ф-я времени
x'(t) - соотв. скорость качели как ф-я времени
(таким образом в правой части имеем потенциальную и кинетическую энергии)
Поставим начальное условие x(0)=0, т.е. пусть в начальный момент времени человек находился в самой нижней точке с макс. кинетической энергией.
Решим ОДУ (*) методом разделения переменных, получим в качестве решения ф-ии
из этих ф-ий выберем ту что с плюсом, т.к. именно ее производная при обращается в нуль, что соответствует моменту остановки качели по достижении макс высоты. Найдем когда именно скорость равна нулю:
отсюда
Стоит отметить, что это решение описывает движение качели лишь на интервале времени от 0 до половины периода. Но этого нам достаточно, ибо требуется найти энергии при t = 1/12 T (где T-период)
Таким образом значение нам теперь известно. Тогда
Значит качели в момент времени были на высоте
Отсюда потенциальная энергия
(Дж)
И кинетическая энергия
(Дж)
(#) Задачу можно рассматривать и как задачу гармонического осциллятора, т.е. с потенциальной энергией вида заместо типичной В этом случае данная в условии задачи частота будет использоваться (чтоб найти омега) В то же время решение ОДУ будет посложнее, функция сведется к тангенсу или чему-то подобному.
Как именно интерпретировать задачу зависит от интерпретации слова амплитуда. Я выбрал самый простой случай и что-то решил, вполне возможно совсем не то, что хотели бы видеть авторы задачи.
КПД можно найти так - n = Q₁+Q₂/Q, где Q - количество теплоты, нужное на нагревание чугуна, Q₂ - количество теплоты, нужное на плавление чугуна, Q - количество теплоты, которые выделится после сгорания каменного угля.
Q₁=c₁m₁(t₁-t₀), где c₁ - теплоемкость чугуна, m₁ - масса чугуна, t₁ - конечная температура (температура плавления чугуна 1200), t₀ - начальная температура.
Q₂=q₁m₁, где q₁ - удельная теплота сгорания чугуна.
Q=q₂m₂, где q₂ - удельная теплота сгорания каменного угля, m₂ - масса каменного угля.
Подставим все в формулу и получим - n=c₁m₁(t₁-t₀)+q₁m₁/q₂m₂, преобразуем формулу и получаем m₂=m₁(c₁(t₁-t₀)+q₁)/q₂n=1500*(540*(1200+10)+96000)/0.6*2.7*10⁷=69.4 кг
Немного неоднозначная задача, нужно найти кинетическую и потенциальную энергию, хотя не сказано с какого именно положения нужно вести отсчет времени. Я выберу это положение сам.
И еще вопрос, что понимается под амплитудой колебаний? Пусть это будет максимальной высотой подъема тела (#)
По закону сохранения энергии
где
h - амплитуда, т.е. максимальная высота подъема качели
x(t) - высота качели как ф-я времени
x'(t) - соотв. скорость качели как ф-я времени
(таким образом в правой части имеем потенциальную и кинетическую энергии)
Поставим начальное условие x(0)=0, т.е. пусть в начальный момент времени человек находился в самой нижней точке с макс. кинетической энергией.
Решим ОДУ (*) методом разделения переменных, получим в качестве решения ф-ии
из этих ф-ий выберем ту что с плюсом, т.к. именно ее производная при
обращается в нуль, что соответствует моменту остановки качели по достижении макс высоты. Найдем когда именно скорость равна нулю:
отсюда
Стоит отметить, что это решение описывает движение качели лишь на интервале времени от 0 до половины периода. Но этого нам достаточно, ибо требуется найти энергии при t = 1/12 T (где T-период)
Таким образом значение
нам теперь известно. Тогда 
Значит качели в момент времени
были на высоте 
Отсюда потенциальная энергия
И кинетическая энергия
(#) Задачу можно рассматривать и как задачу гармонического осциллятора, т.е. с потенциальной энергией вида
заместо типичной 
В этом случае данная в условии задачи частота будет использоваться (чтоб найти омега) В то же время решение ОДУ будет посложнее, функция сведется к тангенсу или чему-то подобному.
Как именно интерпретировать задачу зависит от интерпретации слова амплитуда. Я выбрал самый простой случай и что-то решил, вполне возможно совсем не то, что хотели бы видеть авторы задачи.
КПД можно найти так - n = Q₁+Q₂/Q, где Q - количество теплоты, нужное на нагревание чугуна, Q₂ - количество теплоты, нужное на плавление чугуна, Q - количество теплоты, которые выделится после сгорания каменного угля.
Q₁=c₁m₁(t₁-t₀), где c₁ - теплоемкость чугуна, m₁ - масса чугуна, t₁ - конечная температура (температура плавления чугуна 1200), t₀ - начальная температура.
Q₂=q₁m₁, где q₁ - удельная теплота сгорания чугуна.
Q=q₂m₂, где q₂ - удельная теплота сгорания каменного угля, m₂ - масса каменного угля.
Подставим все в формулу и получим - n=c₁m₁(t₁-t₀)+q₁m₁/q₂m₂, преобразуем формулу и получаем m₂=m₁(c₁(t₁-t₀)+q₁)/q₂n=1500*(540*(1200+10)+96000)/0.6*2.7*10⁷=69.4 кг