Небольшое тело массой м лежит на поверхности гладкой полусферы радиусом r. в тело попадает пуля массой m, летящая горризонтально, и застревает в нем. пренебрегая смещением тела во время удара, определить при какой минимальной скорости пули тело сразу оторвется от поверхности полусферы?
mp⋅υp = (m + mp)⋅υ0, υp = (m + mp)⋅υ0/mp
начальная скорость соскальзывания v0 определяется из закона сохранения импульса в момент попадания пули
mV=(M+m)*v0, откуда v0=m*V/(M+m)
Скорость на высоте h от земли определяется из закона сохранения энергии
(M+m)v0^2/2+(M+m)gR=(M+m)v^2/2+(M+m)gh
Откуда v^2=v0^2+2g(R-h)
Надо записать силы, дейст(M+m)вующие на тело (с пулей внутри), когда оно находится на высоте h от земли (ещё не соскользнув с полусферы). Тут нужен рисунок
Сила тяжести (M+m)g вниз
Сила реакции опоры N в точке контакта тела и полусферы в направлении к телу
Равнодействующая этих сил имеет проекцию как на направление к центру полусферы, так и на направление касательной к полусфере в точке контакта. Первая проекция соответствует центростремительному ускорению, вторая тангенциальному ускорению, то есть изменению скорости тела.
Для нас важна только первая проекция.
Проектируем силу тяжести на направление нормали (Угол между вертикалью и направлением нормали обозначаем альфа, тогда cos альфа =h/R), получаем (M+m)g cos альфа=(M+m)gh/R
Тогда проекция равнодействующей на направление нормали (M+m)gh/R-N
По второму закону Ньютона эта проекция должна быть равна (M+m)a_n, где a_n (a с индексом n) -- центростремительное ускорение v^2/R=(v0^2+2g(R-h))/R
(M+m)gh/R-N=(M+m)(v0^2+2g(R-h))/R, откуда находим, что
N=(M+m)gh/R-(M+m)(v0^2+2g(R-h))/R
По мере соскальзывания тела со сферы, сила реакции будет уменьшаться, в момент отрыва тела от сферы она будет равна нулю, приравнивая её нулю и найдём h
(M+m)gh/R-(M+m)(v0^2+2g(R-h))/R=0 умножим на R разделим на (M+m)
gh-(v0^2+2g(R-h))=0
gh-v0^2-2gR+2gh=0
3gh=2gR+v0^2
h=(2gR+v0^2)/3g, осталось подставить v0 и дело в шляпе