Неподвижная молекула распадается на два движущихся атома массами m1 и m2. Во сколько раз суммарная кинетическая энергия двух атомов больше кинетической энергии атома с массой m2?
Поставленный вопрос можно решить при помощи закона сохранения импульса и закона сохранения энергии.
1. Начнем с закона сохранения импульса. По этому закону, суммарный импульс системы до и после разделения должен оставаться постоянным. Импульс обозначается как p и равен произведению массы на скорость (p = mv).
До разделения импульс неподвижной молекулы равен нулю, так как скорость равна нулю. После разделения импульс движущихся атомов равен сумме их импульсов: p_1 + p_2 = (m_1*v_1) + (m_2*v_2).
2. Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. По этому закону, суммарная энергия системы тоже должна оставаться постоянной. Энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии.
До разделения молекула находится в состоянии покоя, поэтому кинетическая энергия равна нулю. После разделения система состоит из двух движущихся атомов, поэтому их кинетическая энергия будет отличной от нуля.
Теперь мы можем перейти к расчетам:
Если обозначить суммарную кинетическую энергию двух атомов как E_сумм, а кинетическую энергию атома с массой m_2 как E_2, то справедлива следующая формула:
E_сумм = E_2 + E_1
3. Теперь сравним оба выражения. Подставим значения импульса и кинетической энергии для каждого атома:
(m_1*v_1) + (m_2*v_2) = E_2 + E_1
4. Поскольку молекула была неподвижной, ее импульс равен нулю. Следовательно,
m_1*v_1 + m_2*v_2 = 0
5. Теперь мы можем записать уравнение для суммарной кинетической энергии:
1. Начнем с закона сохранения импульса. По этому закону, суммарный импульс системы до и после разделения должен оставаться постоянным. Импульс обозначается как p и равен произведению массы на скорость (p = mv).
До разделения импульс неподвижной молекулы равен нулю, так как скорость равна нулю. После разделения импульс движущихся атомов равен сумме их импульсов: p_1 + p_2 = (m_1*v_1) + (m_2*v_2).
2. Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. По этому закону, суммарная энергия системы тоже должна оставаться постоянной. Энергия состоит из кинетической и потенциальной энергии.
До разделения молекула находится в состоянии покоя, поэтому кинетическая энергия равна нулю. После разделения система состоит из двух движущихся атомов, поэтому их кинетическая энергия будет отличной от нуля.
Теперь мы можем перейти к расчетам:
Если обозначить суммарную кинетическую энергию двух атомов как E_сумм, а кинетическую энергию атома с массой m_2 как E_2, то справедлива следующая формула:
E_сумм = E_2 + E_1
3. Теперь сравним оба выражения. Подставим значения импульса и кинетической энергии для каждого атома:
(m_1*v_1) + (m_2*v_2) = E_2 + E_1
4. Поскольку молекула была неподвижной, ее импульс равен нулю. Следовательно,
m_1*v_1 + m_2*v_2 = 0
5. Теперь мы можем записать уравнение для суммарной кинетической энергии:
E_сумм = E_2 + E_1 = (1/2)*m_2*v_2^2 + (1/2)*m_1*v_1^2
6. Подставим выражение для импульса в уравнение для суммарной кинетической энергии:
E_сумм = (1/2)*m_2*v_2^2 + (1/2)*m_1*((-m_2*v_2)/m_1)^2
7. Приведем уравнение в более удобную форму:
E_сумм = (1/2)*m_2*v_2^2 + (1/2)*m_1*m_2^2*v_2^2/(m_1^2)
8. Упростим выражение:
E_сумм = (1/2)*m_2*v_2^2 * (1 + m_2/m_1)
9. Теперь сравним суммарную кинетическую энергию двух атомов (E_сумм) и кинетическую энергию атома с массой m_2(E_2):
E_сумм / E_2 = (1/2)*m_2*v_2^2 * (1 + m_2/m_1) / ((1/2)*m_2*v_2^2)
= 1 + m_2/m_1
Таким образом, суммарная кинетическая энергия двух атомов больше кинетической энергии атома с массой m_2 в (1 + m_2/m_1) раз.