Решение. Когда кусок сплава находится в воде, его архимедова сила равна Fарх₁ = ρ₁gV₁, а когда в керосине Fарх₂ = ρ₂gV₂.
Когда кусок сплава находится в воде, на него действую две силы: архимедова сила Fарх₁ и сила тяжести Fт₁ с весом P₁. Эти силы уравновешивают друг друга из условия плавания тел: Fарх₁ - F₁ - P₁ = 0 ⇒ P₁ = Fарх₁ - Fт₁
Значит, P₁ = ρ₁gV - ρ₃gV = gV(ρ₁ - ρ₃)
То же самое с керосином: P₂ = ρ₂gV - ρ₃gV = gV(ρ₂ - ρ₃)
Пусть Va - скорость Алисы, Vв - скорость Василисы, длина круга L.
Первое состязание:
Пусть А обогнала В через to после старта, и В пробежала S1:
Vв to = S1
Vа to = S1 + L
(2L < S1 < 3L)
разделим второе равенство на первое:
Vа/Vв = 1 + L/S1
Vа = (1 + L/S1) Vв
Второго состязания:
t1 - время, за которое А пробегает 2 круга, t2 = время, за которое В пробегает 2 круга:
2L = Vа t1 = Vв t2
Петр за t1+t2 пробежал S2 ( 3L < S2 < 4L):
Vп ( t1 + t2) = S2
Подставляем в последнее равенство t1 = 2L/Vа, t2 = 2L/Vв:
Vп ( 2L/Vа + 2L/Vв) = S2
1/Vа + 1/Vв = S2/(2 L Vп)
Подставляем Vа = (1 + L/S1) Vв
(1 /Vв) (1 + 1/[1 + L/S1] ) = S2/(2 L Vп)
Выражаем Vв:
Vв = Vп (2 L/S2) ( 2 + L/S1) / (1 + L/S1)
Va = (1 + L/S1) Vв = Vп (2 L/S2) ( 2 + L/S1)
Пусть L/S1 = x, 2 L / S2 = y
Получаем все, что нужно для решения:
(1/3 < x < 1/2), (1/2 < y < 2/3)
Vв = Vп y(2 + x)/(1 + x)
Vа = Vп y(2 + x)
А) Vа = min(Va) при y = 1/2, x = 1/3 : min(Va) = (7/6) Vп
B) Va = max(Va) при y=2/3, x = 1/2: max(Va) = (5/3) Vп
C) Vв = min(Vв) при y = 1/2, x = 1/2: min(Vв) = (5/6) Vп
D) Vв = min(Vв) при y = 2/3, x = 1/3: max(Vв) = (7/4) Vп
Дано:
ρ₁ = 1000 кг/м³
P₁ = 4,8 H
ρ₂ = 800 кг/м³
Р₂ = 5,5 Н
Найти: ρ₃ - ?
Решение. Когда кусок сплава находится в воде, его архимедова сила равна Fарх₁ = ρ₁gV₁, а когда в керосине Fарх₂ = ρ₂gV₂.
Когда кусок сплава находится в воде, на него действую две силы: архимедова сила Fарх₁ и сила тяжести Fт₁ с весом P₁. Эти силы уравновешивают друг друга из условия плавания тел: Fарх₁ - F₁ - P₁ = 0 ⇒ P₁ = Fарх₁ - Fт₁
Значит, P₁ = ρ₁gV - ρ₃gV = gV(ρ₁ - ρ₃)
То же самое с керосином: P₂ = ρ₂gV - ρ₃gV = gV(ρ₂ - ρ₃)
Поделим оба уравнения и получим:
P₁/P₂ = gV(ρ₁ - ρ₃)/gV(ρ₂ - ρ₃)
P₁/P₂ = (ρ₁ - ρ₃)/(ρ₂ - ρ₃)
P₁(ρ₂ - ρ₃) = P₂(ρ₁ - ρ₃)
P₁ρ₂ - P₁ρ₃ = P₂ρ₁ - P₂ρ₃
P₂ρ₃ - P₁ρ₃ = P₂ρ₂ - P₁ρ₁
ρ₃(P₂ - P₁) = P₂ρ₂ - P₁ρ₁
ρ₃ = (P₂ρ₂ - P₁ρ₁)/(P₂ - P₁)
Определим значение искомой величины:
ρ₃ = (5,5 · 1000 - 4,8 · 800)/(5,5 - 4,8) ≈ 2371 кг/м³
ответ: ρ₃ ≈ 2371 кг/м³.