Однородный цилиндр радиуса r и массы m катится без скольжения по горизонтальной плоскости. центр цилиндра движется со скоростью v0 (рис. 1.32). найти модуль момента импульса цилиндра относительно точек 1,2 и 3, которые лежат в перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр.
Момент импульса равен произведению массы тела на его скорость и на радиус-вектор между точкой отсчета и точкой приложения силы. В данной задаче речь идет о моменте импульса цилиндра относительно трех точек: 1, 2 и 3.
1. Момент импульса цилиндра относительно точки 1:
Мы знаем, что масса цилиндра равна m, его радиус равен r, а скорость центра цилиндра v0. Точка 1 лежит на перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр. Радиус-вектор от точки 1 до центра цилиндра равен r, так как эта точка находится на перпендикулярной плоскости. Также, в этой точке скорость цилиндра равна скорости его центра. Тогда момент импульса цилиндра относительно точки 1 будет равен:
L1 = m * v0 * r
2. Момент импульса цилиндра относительно точки 2:
Аналогично предыдущему пункту, мы знаем, что радиус-вектор от точки 2 до центра цилиндра также равен r. Но скорость в этой точке отличается от скорости центра цилиндра. Чтобы найти скорость в точке 2, разложим скорость центра цилиндра на две составляющие: 1) радиальную составляющую, направленную наружу от оси цилиндра и равную v0; 2) тангенциальную составляющую, параллельную поверхности цилиндра и обусловленную его вращением. Так как цилиндр катится без скольжения, то скорость его центра равна сумме радиальной и тангенциальной составляющих. Тангенциальная составляющая скорости в точке 2 равна нулю, так как точка 2 лежит на оси симметрии цилиндра и поверхность цилиндра не нагружена в данной точке. Тогда скорость в точке 2 будет равна только радиальной составляющей и равна v0. Итак, момент импульса цилиндра относительно точки 2 будет равен:
L2 = m * v0 * r
3. Момент импульса цилиндра относительно точки 3:
Точка 3 также лежит на перпендикулярной к цилиндру плоскости, проходящей через его центр. Радиус-вектор от точки 3 до центра цилиндра также равен r. Но скорость в этой точке тоже будет отличаться от скорости центра цилиндра. Рассмотрим для этого разложение скорости центра цилиндра на две составляющие: радиальную и тангенциальную. Радиальная составляющая скорости цилиндра в точке 3 будет равна нулю, так как точка 3 лежит на оси симметрии цилиндра и поверхность цилиндра не нагружена в данной точке. Тангенциальная составляющая скорости в точке 3 будет равна скорости цилиндра, так как она параллельна поверхности цилиндра и обусловлена его вращением. Тогда скорость в точке 3 будет равна только радиальной составляющей и равна нулю. Итак, момент импульса цилиндра относительно точки 3 будет равен:
L3 = m * 0 * r = 0
Таким образом, модуль момента импульса цилиндра относительно точек 1 и 2 будет равен одной и той же величине m * v0 * r, а модуль момента импульса цилиндра относительно точки 3 будет равен нулю.