Физические величины при измерениях и вычислениях обычно выражают числами. Они могут значительно отличаться друг от друга и выражаться как чрезвычайно малыми, так и гигантскими числами. Например, размеры различных тел лежат в пределах от микроскопических до космических масштабов и различаются в 1000000000000000000000000000000... раз (всего надо написать 60 нулей) – такое число даже сложно прочитать!
Как же записать очень малое или очень большое число, чтобы сэкономить бумагу и чтобы легко оперировать этими числами – складывать, вычитать, умножать, делить, да и вообще быстро прочитать и понять записанное?
Наиболее удобный записи малых и больших чисел заключается в использовании множителя 10 в некоторой степени. Например, число 2000 можно записать как 2·1000 или 2·103. Степень десяти (в данном случае «3») показывает, сколько нулей нужно приписать справа за первым множителем (в нашем примере «2»). Это называют записью числа в стандартной форме. Если число содержит более, чем одну значащую цифру, например 21500, то его можно записать как 21500·100 или 2150·101 или 215·102 или 21,5·103 или 2,15·104 или 0,215·105 или 0,0215·106 и так далее.
Запомним: в стандартной форме числа до запятой всегда оставляют только одну цифру, отличную от нуля, а остальные цифры записывают после запятой. Итак, в стандартной форме число 21500 = 2,15·104.
Когда вы будете «разворачивать» (то есть записывать в обычном виде) число, представленное в стандартной форме, например, 3,71·105, то начинайте отсчитывать цифры в количестве пяти (таков в нашем примере показатель степени десяти) сразу после запятой, включая и значащие цифры «71», а недостающие цифры замените нулями: 3,71·105 = 371000.
С большими числами мы выяснили, перейдём теперь к малым. Например, число 0,0375 тоже можно записать в стандартной форме так: 3,75·10–2. Первый множитель – первая значащая цифра, затем запятая и остальные цифры (в нашем примере это «3», «запятая», «75»). Показатель степени равен позиции после запятой, на которой стоит первая отличная от нуля цифра (в нашем примере это вторая позиция, поскольку именно там стоит первая ненулевая цифра «3»). Перед показателем ставится знак «минус», и это означает, что при «разворачивании» числа нули нужно будет ставить не справа, а слева. Например: 1,05·10–5 = 0,0000105.
Размеры некоторых малых тел
Остриё булавки 0,0001 м 1·10–4 м
Инфузория-туфелька 0,0002 м 2·10–4 м
Бактерия пневмонии 0,0000001 м 1·10–7 м
Клетка крови 0,00000075 м 7,5·10–7 м
Молекула белка 0,00000001 м 1·10–8 м
Атом водорода 0,0000000002 м 2·10–10 м
Размеры некоторых больших тел
Диаметр Земли 12800000 м 1,28·107 м
от Земли до Луны 384000000 м 3,84·108 м
Диаметр Солнца 1390000000 м 1,39·109 м
от Земли до Солнца 150000000000 м 1,5·1011 м
1 световой год 9500000000000000 м 9,5·1015 м
1 парсек 30800000000000000 м 3,08·1016 м
Все числа, записанные в стандартной форме, можно складывать и вычитать. Для сложения двух чисел, записанных в такой форме, сначала нужно преобразовать их так, чтобы степень десяти была одинаковой. Например, 2,15·104 + 3,71·105 можно переписать в виде: 0,215·105 + 3,71·105. Теперь складываем первые множители: 0,215 + 3,71 = 3,925 и приписываем справа общий второй множитель 105. Получим результат: 3,925·105. С вычитанием поступаем по аналогии: 3,71·105 – 2,15·104 = 3,71·105 – 0,215·105 = (3,71 – 0,215) · 105 = 3,495·105.
Для умножения чисел в стандартной форме, например, 5,2·104 · 3,7·105, нужно перемножить первые сомножители: 5,2 · 3,7 = 19,24, а затем сложить показатели степеней: 104 · 105 = 104+5 = 109. Получим результат: 19,24·109, в котором перенесём запятую на один знак влево: 1,924·1010. При делении чисел в стандартной форме записи, например 5,4·104 : 3,6·106 следует разделить первые множители 5,4 : 3,6 = 1,5 и приписать второй множитель – десять в степени, где показатели вычитаются: 104 : 106 = 104-6 = 10–2. Получим ответ: 1,5·10-2.
(C) 2013. Баникевич Наталья Геннадьевна (Кемеровская область, г. Кемерово)
Известно, что кусок сплава из меди и цинка в воде весит Р(в) = 45,6 Н. На воздухе его вес составляет Р = m ∙ g, где g = 9,8 ≈ 10 Н/кг – коэффициент пропорциональности. В воде вес уменьшается за счёт действия выталкивающей силы, которую находим по закону Архимеда F(А) = ρ(в) ∙ g ∙ V, где плотность воды ρ(в) = 1000 кг/куб.м. Найдем объём сплава из соотношения Р(в) = Р – F(А) или Р(в) = m ∙ g – ρ(в) ∙ g ∙ V, получаем V = (m ∙ g – Р(в)) : (ρ(в) ∙ g). Подставляем значения величин V = (5,16 ∙ 10 – 45,6) : (1000 ∙ 10) = 0,0006 (куб.м). Плотность сплава ρ = m/V = 5,16 : 0,0006 = 8600 (кг/куб.м).
Плотность куска сплава из меди и цинка можно рассчитать по формуле: ρ = (m1 + m2) : (V1 + V2) = m : (m1/ρ1 + m2/ρ2), где значение плотностей металлов находим из справочных таблиц: для меди ρ1 = 8900 кг/куб.м для цинка ρ2 = 7100 кг/куб.м. Так как m2 = m – m1, получаем уравнение:
m1/ρ1 + (m – m1)/ρ2 = m/ρ или m1/8900 + (5,16 – m1)/7100 = 5,16/8600; m1 = 4,45 (кг). ответ: меди в сплаве 4,45 кг.
Физические величины при измерениях и вычислениях обычно выражают числами. Они могут значительно отличаться друг от друга и выражаться как чрезвычайно малыми, так и гигантскими числами. Например, размеры различных тел лежат в пределах от микроскопических до космических масштабов и различаются в 1000000000000000000000000000000... раз (всего надо написать 60 нулей) – такое число даже сложно прочитать!
Как же записать очень малое или очень большое число, чтобы сэкономить бумагу и чтобы легко оперировать этими числами – складывать, вычитать, умножать, делить, да и вообще быстро прочитать и понять записанное?
Наиболее удобный записи малых и больших чисел заключается в использовании множителя 10 в некоторой степени. Например, число 2000 можно записать как 2·1000 или 2·103. Степень десяти (в данном случае «3») показывает, сколько нулей нужно приписать справа за первым множителем (в нашем примере «2»). Это называют записью числа в стандартной форме. Если число содержит более, чем одну значащую цифру, например 21500, то его можно записать как 21500·100 или 2150·101 или 215·102 или 21,5·103 или 2,15·104 или 0,215·105 или 0,0215·106 и так далее.
Запомним: в стандартной форме числа до запятой всегда оставляют только одну цифру, отличную от нуля, а остальные цифры записывают после запятой. Итак, в стандартной форме число 21500 = 2,15·104.
Когда вы будете «разворачивать» (то есть записывать в обычном виде) число, представленное в стандартной форме, например, 3,71·105, то начинайте отсчитывать цифры в количестве пяти (таков в нашем примере показатель степени десяти) сразу после запятой, включая и значащие цифры «71», а недостающие цифры замените нулями: 3,71·105 = 371000.
С большими числами мы выяснили, перейдём теперь к малым. Например, число 0,0375 тоже можно записать в стандартной форме так: 3,75·10–2. Первый множитель – первая значащая цифра, затем запятая и остальные цифры (в нашем примере это «3», «запятая», «75»). Показатель степени равен позиции после запятой, на которой стоит первая отличная от нуля цифра (в нашем примере это вторая позиция, поскольку именно там стоит первая ненулевая цифра «3»). Перед показателем ставится знак «минус», и это означает, что при «разворачивании» числа нули нужно будет ставить не справа, а слева. Например: 1,05·10–5 = 0,0000105.
Размеры некоторых малых тел
Остриё булавки 0,0001 м 1·10–4 м
Инфузория-туфелька 0,0002 м 2·10–4 м
Бактерия пневмонии 0,0000001 м 1·10–7 м
Клетка крови 0,00000075 м 7,5·10–7 м
Молекула белка 0,00000001 м 1·10–8 м
Атом водорода 0,0000000002 м 2·10–10 м
Размеры некоторых больших тел
Диаметр Земли 12800000 м 1,28·107 м
от Земли до Луны 384000000 м 3,84·108 м
Диаметр Солнца 1390000000 м 1,39·109 м
от Земли до Солнца 150000000000 м 1,5·1011 м
1 световой год 9500000000000000 м 9,5·1015 м
1 парсек 30800000000000000 м 3,08·1016 м
Все числа, записанные в стандартной форме, можно складывать и вычитать. Для сложения двух чисел, записанных в такой форме, сначала нужно преобразовать их так, чтобы степень десяти была одинаковой. Например, 2,15·104 + 3,71·105 можно переписать в виде: 0,215·105 + 3,71·105. Теперь складываем первые множители: 0,215 + 3,71 = 3,925 и приписываем справа общий второй множитель 105. Получим результат: 3,925·105. С вычитанием поступаем по аналогии: 3,71·105 – 2,15·104 = 3,71·105 – 0,215·105 = (3,71 – 0,215) · 105 = 3,495·105.
Для умножения чисел в стандартной форме, например, 5,2·104 · 3,7·105, нужно перемножить первые сомножители: 5,2 · 3,7 = 19,24, а затем сложить показатели степеней: 104 · 105 = 104+5 = 109. Получим результат: 19,24·109, в котором перенесём запятую на один знак влево: 1,924·1010. При делении чисел в стандартной форме записи, например 5,4·104 : 3,6·106 следует разделить первые множители 5,4 : 3,6 = 1,5 и приписать второй множитель – десять в степени, где показатели вычитаются: 104 : 106 = 104-6 = 10–2. Получим ответ: 1,5·10-2.
(C) 2013. Баникевич Наталья Геннадьевна (Кемеровская область, г. Кемерово)
Меди в сплаве 4,45 кг.
Объяснение:
Известно, что кусок сплава из меди и цинка в воде весит Р(в) = 45,6 Н. На воздухе его вес составляет Р = m ∙ g, где g = 9,8 ≈ 10 Н/кг – коэффициент пропорциональности. В воде вес уменьшается за счёт действия выталкивающей силы, которую находим по закону Архимеда F(А) = ρ(в) ∙ g ∙ V, где плотность воды ρ(в) = 1000 кг/куб.м. Найдем объём сплава из соотношения Р(в) = Р – F(А) или Р(в) = m ∙ g – ρ(в) ∙ g ∙ V, получаем V = (m ∙ g – Р(в)) : (ρ(в) ∙ g). Подставляем значения величин V = (5,16 ∙ 10 – 45,6) : (1000 ∙ 10) = 0,0006 (куб.м). Плотность сплава ρ = m/V = 5,16 : 0,0006 = 8600 (кг/куб.м).
Плотность куска сплава из меди и цинка можно рассчитать по формуле: ρ = (m1 + m2) : (V1 + V2) = m : (m1/ρ1 + m2/ρ2), где значение плотностей металлов находим из справочных таблиц: для меди ρ1 = 8900 кг/куб.м для цинка ρ2 = 7100 кг/куб.м. Так как m2 = m – m1, получаем уравнение:
m1/ρ1 + (m – m1)/ρ2 = m/ρ или m1/8900 + (5,16 – m1)/7100 = 5,16/8600; m1 = 4,45 (кг). ответ: меди в сплаве 4,45 кг.