Первый нитяной маятник совершил за некоторое время 10 колебаний, а второй за то же время — 15 колебаний. Длины этих маятников отличаются на 50 см. а) Длина нити какого маятника меньше? Обоснуйте свой ответ.
б) Во сколько раз длина нити одного маятника больше, чем длина
нити другого?
в) Чему равны длины нитей маятников?
а) Для начала решим задачу о нахождении длины нити маятника, который совершил 10 колебаний. Пусть длина нити этого маятника будет L. Также известно, что длина нити второго маятника (который совершил 15 колебаний) отличается на 50 см от длины нити первого маятника. Обозначим длину нити второго маятника как L + 50.
Теперь воспользуемся формулой периода колебаний Т для математического маятника: Т = 2π√(L/g), где L - длина нити маятника, а g - ускорение свободного падения (принимаем его равным 9.8 м/c^2).
Для первого маятника, совершившего 10 колебаний, период колебаний будет равен: Т1 = 2π√(L/g).
Для второго маятника, совершившего 15 колебаний, период колебаний будет равен: Т2 = 2π√((L + 50)/g).
Заметим, что период колебаний для маятника пропорционален квадратному корню из длины нити.
Составим пропорцию на основе данных:
Т1/Т2 = √(L/(L + 50))
Теперь подставим значения периодов колебаний:
Т1/Т2 = √(L/(L + 50)) = √(10/15) = √(2/3)
Мы получили, что отношение периодов колебаний равно √(2/3).
Раскроем это отношение в промежуточные действия и получим квадратные уравнения:
(Т1/Т2)^2 = (L/(L + 50))^2 = (2/3)
Т1^2 / Т2^2 = L^2 / (L + 50)^2 = 2/3
3Т1^2 = 2Т2^2
(3/2) * Т1^2 = Т2^2
Из получившегося уравнения видно, что квадраты периодов пропорциональны друг другу с коэффициентом (3/2).
Заметим, что период колебаний обратно пропорционален квадратному корню из длины нити. То есть, если периоды колебаний двух маятников различаются в (3/2) раза, то длины нитей различаются в √((3/2)^(-1)) = √(2/3) раза.
Значит, отношение длин нитей равно √(2/3).
Таким образом, на основе сделанных вычислений можем сделать следующие выводы:
а) Длина нити маятника, который совершил 10 колебаний, меньше. Это так, потому что величина √(2/3) является дробной и меньше единицы.
б) Длина нити одного маятника больше, чем длина нити другого в √(2/3) раза.
в) Чтобы найти конкретные значения длин нитей, нам необходимо знать одну из них. Если предположить, что длина нити первого маятника L = 1 м, то длина нити второго маятника будет равна L + 50 см = 1 м + 0.5 м = 1.5 м.
Таким образом, длина нити первого маятника равна 1 м, а длина нити второго маятника равна 1.5 м.