Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5м и массой m1 = 180кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси с частотой равной 0.3об/c. В центре платформы стоит человек массой m2=60кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Найти изменение механической энергии системы.
Угловой момент системы L остается постоянным, если на систему не действуют внешние моменты сил. Мы можем записать его формулу:
L = Iω,
где L - угловой момент, I - момент инерции системы, ω - угловая скорость.
Момент инерции I системы, состоящей из двух тел (платформы и человека), может быть выражен как сумма моментов инерции каждого из тел:
I = I1 + I2,
где I1 - момент инерции платформы, I2 - момент инерции человека.
Момент инерции платформы I1 равен массе платформы m1, умноженной на квадрат радиуса R и разделенной на 2:
I1 = (m1 * R^2) / 2.
Момент инерции человека I2 равен массе человека m2, умноженной на квадрат расстояния от оси вращения (радиус R плюс расстояние от центра платформы до края платформы, где будет находиться человек) и разделенной на 2:
I2 = (m2 * (R + R)^2) / 2.
Угловая скорость системы ω может быть выражена через частоту вращения:
ω = 2πf,
где f - частота вращения.
Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, мы можем перейти к решению задачи.
1. Вычислим момент инерции платформы I1:
I1 = (180кг * (1,5м)^2) / 2.
I1 = 202,5кг * м^2.
2. Вычислим момент инерции человека I2:
I2 = (60кг * (1,5м + 1,5м)^2) / 2.
I2 = (60кг * 9м^2) / 2.
I2 = 270кг * м^2.
3. Вычислим угловую скорость системы ω:
ω = 2π * 0,3об/c.
ω = 0,6π рад/c.
4. Воспользуемся законом сохранения углового момента, чтобы найти угловую скорость человека ω2:
L1 = L2,
I1 * ω1 = I2 * ω2,
(202,5кг * м^2) * 0,6π рад/c = (270кг * м^2) * ω2.
5. Решим уравнение относительно ω2:
0,6π * 202,5кг * м^2 = 270кг * м^2 * ω2,
122,22кг * м^2/с = 270кг * м^2 * ω2,
ω2 = (122,22кг * м^2/с) / (270кг * м^2).
ω2 = 0,453 рад/c.
6. Так как линейная скорость относительно пола помещения v связана с угловой скоростью ω следующим образом:
v = R * ω,
v = 1,5м * 0,453 рад/c.
v = 0,68 м/c.
Таким образом, линейная скорость человека, когда он перейдет на край платформы, будет равна 0,68 м/с.
7. Чтобы найти изменение механической энергии системы, мы можем использовать формулу:
ΔE = (1/2) * I1 * ω1^2 - (1/2) * I2 * ω2^2.
Подставим известные значения:
ΔE = (1/2) * (202,5кг * м^2) * (0,6π рад/c)^2 - (1/2) * (270кг * м^2) * (0,453 рад/c)^2.
ΔE = (1/2) * 202,5кг * м^2 * 0,36π^2 рад^2/с^2 - (1/2) * 270кг * м^2 * 0,2049 рад^2/с^2.
ΔE = 36,486кг * м^2 * π^2 рад^2/с^2 - 27,6525кг * м^2 * рад^2/с^2.
ΔE ≈ 114,201кг * м^2 * рад^2/с^2.
Таким образом, изменение механической энергии системы составляет примерно 114,201 кг * м^2 * рад^2/с^2.