По гладкому столу скользит шайба массой 40 г и налетает на покоящуюся гладкую горку высотой 15 см и массой 120 г. В конечном состоянии горка и шайба движутся как единое целое. а) во сколько раз скорость горки с шайбой меньше начальной скорости шайбы
б) определите начальную скорость шайбы
а) Для начала, определим закон сохранения импульса. По этому закону, сумма начальных импульсов равна сумме конечных импульсов системы. В начальный момент времени только шайба движется, а горка покоится. Поэтому, аналитически закон сохранения импульса можно записать следующим образом:
масса шайбы * начальная скорость шайбы = (масса горки + масса шайбы) * конечная скорость движения горки с шайбой
Подставим известные значения:
масса шайбы = 40 г = 0.04 кг
начальная скорость шайбы = ?
масса горки = 120 г = 0.12 кг
конечная скорость движения горки с шайбой = ?
масса шайбы * начальная скорость шайбы = (масса горки + масса шайбы) * конечная скорость движения горки с шайбой
0.04 кг * начальная скорость шайбы = (0.12 кг + 0.04 кг) * конечная скорость движения горки с шайбой
для удобства, обозначим конечную скорость движения горки с шайбой как V
0.04 кг * начальная скорость шайбы = 0.16 кг * V
начальная скорость шайбы = 0.16 кг * V / 0.04 кг
начальная скорость шайбы = 4 V
Таким образом, получили, что начальная скорость шайбы равна 4 умножить на конечную скорость движения горки с шайбой.
б) Теперь определим начальную скорость шайбы. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии, согласно которому сумма кинетической и потенциальной энергии в начальный момент времени равна сумме кинетической и потенциальной энергии в конечный момент времени.
Кинетическая энергия шайбы в начальный момент времени: K1 = (1/2) * масса шайбы * (начальная скорость шайбы)^2
Потенциальная энергия шайбы в начальный момент времени: U1 = 0, так как шайба находится на столе и ее высота равна 0.
Кинетическая энергия шайбы и горки в конечный момент времени: K2 = (1/2) * (масса горки + масса шайбы) * V^2
Потенциальная энергия шайбы и горки в конечный момент времени: U2 = (масса горки + масса шайбы) * g * высота горки
где g - ускорение свободного падения, принимается равным 9.8 м/с^2
K1 + U1 = K2 + U2
(1/2) * масса шайбы * (начальная скорость шайбы)^2 + 0 = (1/2) * (масса горки + масса шайбы) * V^2 + (масса горки + масса шайбы) * g * высота горки
Для удобства, обозначим начальную скорость шайбы как U
(1/2) * 0.04 кг * U^2 = (1/2) * (0.12 кг + 0.04 кг) * V^2 + (0.12 кг + 0.04 кг) * 9.8 м/с^2 * 0.15 м
0.02 * U^2 = 0.16 * V^2 + 0.16 * 9.8 * 0.15
Упростим данное уравнение:
0.02 * U^2 - 0.16 * V^2 = 0.16 * 0.147
0.02 * U^2 - 0.16 * V^2 = 0.02352
Теперь вспомним, что начальная скорость горки с шайбой V = 4 * начальная скорость шайбы U
0.02 * U^2 - 0.16 * (4 * U)^2 = 0.02352
0.02 * U^2 - 0.16 * U^2 * 16 = 0.02352
0.02 * U^2 - 2.56 * U^2 = 0.02352
-2.54 * U^2 = 0.02352
U^2 = 0.02352 / -2.54
U^2 = -0.009251
Получили, что U^2 является отрицательным числом, что невозможно. Значит, такое значение начальной скорости шайбы не существует.
Ответ:
а) В данной задаче невозможно определить во сколько раз скорость горки с шайбой меньше начальной скорости шайбы.
б) Начальная скорость шайбы не определена.