Под каким углом к горизонту надо бросить шарик чтобы: а) радиус кривизны начала его траектории был в 8 раз шире, чем в вершине. б) центр кривизны вершины траектории находился на земной поверхности.

а) Радиус кривизны связан со скоростью и нормальным ускорением:

R = V^2 /an.

Для начала движения:

R1 = V^2 /(gcosx),  где х - искомый угол бросания (к горизонтали).

Для верхней точки траектории:

R2 = V^2 *cos^2(x) / g.  Применим условие:

R1/R2 = 1/cos^3(x) = 8

Отсюда cosx = 1/2    x = 60град

б)  Условие для этого пункта:

R2 = H - высота подъема

R2 = V^2 *cos^2(x) / g.

H = V^2 *sin^2(x) /2g

Приравняв, получим:

cos^2(x) = sin^2(x) /2

tgx = кор2     х = arctg (кор2)  

Пусть R0-радиус кривизны траектории в начале движения.

R0=v0^2/an0, где v0 - начальная скорость, an = g*sin(alpha) -нормальное ускорение.

R1 - рад кривизны в верхней точки траектории.

R1 = v^2/an

v=vx=v0*sin(alpha), так как в верхней точке vy=0

an=g в верхней точке.

R0/R1=8 по условию => sin (alpha) = 1/2 => alpha = 30 градусов.

Центр кривизны вершины находится на земной поверхности => R1=H

H  = (v0^2*(sin(alpha))^2)/g   - макс высота подъёма

приравняв, получим, что  центр кривинны траектории лежит на поверхности при любом (!) угле.