Если растянуть пружины, связанные параллельно на некоторую длину L, то каждая из них будет испытывать одну и ту же внешнюю силу F. Одна пружина растянется на x(1) = x, а другая на x(2) = L–x. При этом будет верно, что: k(1) x = k2 (L–x), откуда: k(1) x = k2 L– k(2) x ; ( k(1) + k(2) ) x = k(2) L ; x(1) = k(2) L / ( k(1) + k(2) ) ; и x(2) = k(1) L / ( k(1) + k(2) ) ; Если разделить силу F на общее удлиннение, то получится: F/L = k(1) x(1) / L = k(1) k(2) / ( k(1) + k(2) ) = 1 / ( 1/k(1) + 1/k(2) ) ; Это и будет составной коэффициент жёсткости: k = 1 / ( 1/k(1) + 1/k(2) ) ; Частота колебаний выразится общей формулой: f = 1/(2п) √[k/m] ; f = 1 / ( 2 п √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ) ;
Можно поступить и иначе: Запишем второй закон Ньютона для системы: [1] ma = k(1) x(1) = k(2) x(2) , из второго равенства: x(2) = x(1) k(1) / k(2) , тогда: x(1) + x(2) = x(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) , и поскольку: a = ( x(1) + x(2) )'' = x''(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) , то подставим это выражение в первое равенство [1] : m x''(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) = k(1) x(1) ; x''(1) ( 1/k(1) + 1/k(2) ) = [1/m] x(1) ; x''(1) = 1 / [ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] * x(1) ; А поскольку общее решение x'' = w²x , то: w² = 1 / [ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ; w = 1 / √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ; f = w/2п = 1 / ( 2 п √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ) ;
Cколько воды, взятой при 50 градусах необходимо, чтобы превратить в воду 10 кг льда, взятого при -10 градусов в алюминиевой емкости массой 5 кг. Напишем уравнение теплового баланса:
k(1) x = k2 (L–x), откуда:
k(1) x = k2 L– k(2) x ;
( k(1) + k(2) ) x = k(2) L ;
x(1) = k(2) L / ( k(1) + k(2) ) ;
и x(2) = k(1) L / ( k(1) + k(2) ) ;
Если разделить силу F на общее удлиннение, то получится:
F/L = k(1) x(1) / L = k(1) k(2) / ( k(1) + k(2) ) = 1 / ( 1/k(1) + 1/k(2) ) ;
Это и будет составной коэффициент жёсткости:
k = 1 / ( 1/k(1) + 1/k(2) ) ;
Частота колебаний выразится общей формулой:
f = 1/(2п) √[k/m] ;
f = 1 / ( 2 п √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ) ;
Можно поступить и иначе:
Запишем второй закон Ньютона для системы:
[1] ma = k(1) x(1) = k(2) x(2) , из второго равенства:
x(2) = x(1) k(1) / k(2) , тогда:
x(1) + x(2) = x(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) , и поскольку:
a = ( x(1) + x(2) )'' = x''(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) , то подставим это выражение в первое равенство [1] :
m x''(1) ( 1 + k(1) / k(2) ) = k(1) x(1) ;
x''(1) ( 1/k(1) + 1/k(2) ) = [1/m] x(1) ;
x''(1) = 1 / [ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] * x(1) ;
А поскольку общее решение x'' = w²x , то:
w² = 1 / [ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ;
w = 1 / √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ;
f = w/2п = 1 / ( 2 п √[ ( 1/k(1) + 1/k(2) ) m ] ) ;
Посчитаем:
f = 1 / ( 2 * 3.14 √[ ( 1/10 + 1/30 ) 0.05 ] ) = √[ 150 ] / ( 2 * 3.14 ) = 1.95 Гц.
Напишем уравнение теплового баланса:
Qв = Qл + Qп + Qа ;
Qв – теплота, отданная горячей водой,
Qл – теплота, получаемая нагреваемым льдом,
Qп – теплота, получаемая плавящимся льдом,
Qё – теплота, получаемая алюминиевой ёмкостью.
to – конечная температура,
tв = 50°С – температура горячей воды,
tл = –10°С – начальная температура льда и ёмкости,
mв – масса воды,
mл = 10 кг – масса льда,
mё = 5 кг – масса алюминиевой ёмкости,
с = 4190 Дж/кг°С – теплоёмкость воды,
с/2 = 2095 Дж/кг°С – теплоёмкость льда,
сё = 920 Дж/кг°С– теплоёмкость алюминия,
Л = 340 000 Дж/кг – теплота плавления льда,
Qв = c mв ( tв - to ) ;
Qл = (c/2) mл ( to – tл ) ;
Qп = Л mл ;
Qё = сё mё ( to – tл ) ;
Тогда получается, что:
Qв = Qл + Qп + Qа ;
c mв ( tв - to ) = (c/2) mл ( to – tл ) + Л mл + сё mё ( to – tл ) ;
c mв tв - c mв to = (c/2) mл to – (c/2) mл tл + Л mл + сё mё to – сё mё tл ;
c mв to + (c/2) mл to + сё mё to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
( c mв + (c/2) mл + сё mё ) to = c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ;
to = ( c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл ) / ( c mв + (c/2) mл + сё mё ) > 0 ;
Знаменатель – положителен, значит должен быть положителен и числитель:
c mв tв + (c/2) mл tл + сё mё tл – Л mл > 0 ;
mв tв > (Л/с) mл – (1/2) mл tл – (сё/с) mё tл ;
mв > ( Л / (с tв) ) mл + (1/2) mл |tл|/tв + (сё/с) mё |tл|/tв ;
[1] mв > mл ( Л / (с tв) + |tл|/(2tв) ) + (сё/с) mё |tл|/tв ;
либо:
[2] mв > mл ( Л / (с tв) ) + ( mл/2 + (сё/с) mё ) |tл|/tв ;
Посчитаем по [1]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) + 10/100 ) + (920/4190)*5*10/50 = 17.5 кг ;
Посчитаем по [2]: mв > 10*( 340 000 / (4190*50) ) + ( 10/2 + (920/4190)*5 ) 10/50 = 17.5 кг ;
Всё сходится. Нужно взять больше, чем 17.5 кг (17.5 литров) воды, тогда весь лёд, взятый в алюминиевой ёмкости при –10°С удастся растопить.