Задачу можно решить энергетическим подходом, а можно и через кинематику. Приведу оба варианта.
Пуля сталкивается с покоящимся бруском, приводя его в движение со скоростью V1. Закон сохранения импульса в момент вылета пули из бруска:
m*V1 + m0*υ1 = m0*υ0 - выражаем скорость V1:
m*V1 = m0*υ0 - m0*υ1 = m0*(υ0 - υ1)
V1 = m0*(υ0 - υ1) : m = (m0/m)*(υ0 - υ1)
Дальше - два пути решения:
1) энергетический подход
Предполагается, что на брусок не действуют силы трения и силы сопротивления воздуха. Механическая энергия бруска в момент падения на землю равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:
E = Ep2 + Ek2
Но т.к. потенциальная равна нулю, то механическая энергия равна кинетической:
Е = 0 + Ek2 = Ek2
В начальный момент падения механическая энергия бруска должна быть такой же, как и в момент падения на землю:
E = Ep1 + Ek1
Теперь приравняем оба выражения, подставим вместо V1 выражение из уравнения закона сохранения импульса и выразим H:
Брусок летит вниз не прямо, а по параболе, его движение при этом является движением тела, брошенного горизонтально. Такое движение можно разбить на две составляющие: горизонтальную (по оси Х) и вертикальную (по оси Y). По горизонтали брусок движется с постоянной скоростью V1 и проходит путь, равный:
Sx = Vx*t, где Vx = V1
По вертикали движение бруска неравномерное, с ускорением. Движение - свободное падение:
Sy = gt²/2
Скорость в начале падения равна нулю:
V0y = 0 => Vy = V0y + gt = 0 + gt = gt
Vy = gt - выразим время:
t = Vy/g - и подставим его в формулу вертикального перемещения:
Sy = gt²/2 = (g/2)*(Vy/g)² = Vy²/(2g)
Чтобы выразить Vy, надо понимать, что в момент падения на землю брусок имеет скорость V2, направленную под каким-то углом к земной поверхности. Эту скорость образуют составляющие Vx и Vy. А все три скорости образуют прямоугольный треугольник, из которого можно узнать любую его сторону, если известны две другие, но неизвестен угол. Скорость V2 - это гипотенуза, а скорость Vx = V1 и скорость Vy - это катеты. По правилу Пифагора:
Теперь это можно подставить в формулу для вертикального перемещения, которое и будет равняться высоте крыши:
H = Sy = Vy²/(2g) = (V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²) / (2g) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) - пришли к тому же самому уравнению, что и в первом решении.
Монохроматический источник излучает волны с определённой интенсивностью. Интенсивность волны - это фактически мощность излучения, проходящего через единицу площади:
I = (W/t)/S, где W - энергия излучения, t - время излучения, S - площадь поверхности, через которую проходит излучение.
Отношение W/t - это мощность, то есть:
I = (W/t)/S = P/S
Так как источник точечный, то плотность потока его излучения (плотность потока излучения = интенсивность волны = мощность излучения через единицу площади поверхности - это всё одно и то же) убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника. Это как с силой тяготения - чем выше тело над поверхностью Земли, тем слабее Земля притягивает его. Так же и здесь - чем дальше источник излучения от поверхности, тем "слабее" поток этого излучения проходит через поверхность. Математически мы можем выразить это, если представим S как площадь поверхности шара:
S = 4πR² => I = P/S = P/(4πR²) = (P/4π) * (1/R²)
Ещё один (более понятный) пример зависимости плотности потока излучения от расстояния. Зимой наша Земля находится далеко от Солнца, а летом - ближе. Расстояние от планеты до Солнца зимой больше, а летом - меньше. Поэтому плотность потока солнечного излучения зимой меньше (холодно), а летом - больше (тепло). То есть, если бы Солнце было мощным лазером, а не сферическим источником, то оно излучало бы пучком, а не во все стороны, и тогда расстояние уже не играло бы особой роли.
Далее. Свет падает нормально, то есть перпендикулярно поверхности. Значит, косинус угла падения равен 0°, то есть равен единице. Если бы световые волны падали под углом, то интенсивность I умножалась бы на cosα между нормалью к поверхности n и направлением волн I (I - это ещё и вектор Умова-Пойнтинга, то есть это уже четвёртое понятие наряду с интенсивностью волны, плотностью потока...).
Каждая зеркальная поверхность имеет коэффициент отражения. Предполагается, что зеркальная поверхность в задаче имеет 100% отражающую , т.е. r = 1.
Давление, оказываемое светом, найдём по формуле Максвелла:
p = ω*(1 + r), где ω - объёмная плотность энергии излучения. Объёмную плотность можно выразить так:
ω = W/V, где V = S*R => ω = W/(S*R)
Но нам неудобно будет использовать R в этом выражении (потому что в конечном уравнении будет присутствовать не мощность Р, а энергия W, которая неизвестна по условиям), поэтому заменим R на произведение скорости волны с и времени t (ведь R - это расстояние, которое фотон проходит со скоростью света за время t):
ω = Ι/с => Ι = ω*с - это ещё одно выражение для плотности потока излучения (если добавить значок вектора над I и с, то это как раз и будет уравнение для вектора Умова-Пойнтинга).
В общем-то, все данные известны. Можем записать конечное уравнение для давления света:
Дано:
m = 0,5 кг
m0 = 15 г = 0,015 кг
υ0 = 400 м/с
υ1 = 200 м/с
V2 = 14 м/с
g = 10 м/с²
H - ?
Задачу можно решить энергетическим подходом, а можно и через кинематику. Приведу оба варианта.
Пуля сталкивается с покоящимся бруском, приводя его в движение со скоростью V1. Закон сохранения импульса в момент вылета пули из бруска:
m*V1 + m0*υ1 = m0*υ0 - выражаем скорость V1:
m*V1 = m0*υ0 - m0*υ1 = m0*(υ0 - υ1)
V1 = m0*(υ0 - υ1) : m = (m0/m)*(υ0 - υ1)
Дальше - два пути решения:
1) энергетический подход
Предполагается, что на брусок не действуют силы трения и силы сопротивления воздуха. Механическая энергия бруска в момент падения на землю равна сумме его потенциальной и кинетической энергий:
E = Ep2 + Ek2
Но т.к. потенциальная равна нулю, то механическая энергия равна кинетической:
Е = 0 + Ek2 = Ek2
В начальный момент падения механическая энергия бруска должна быть такой же, как и в момент падения на землю:
E = Ep1 + Ek1
Теперь приравняем оба выражения, подставим вместо V1 выражение из уравнения закона сохранения импульса и выразим H:
Ek2 = Ep1 + Ek1
mV2²/2 = mgH + mV1²/2 | *(2/m)
V2² = 2gH + ((m0/m)*(υ0 - υ1))²
V2² = 2gH + (m0²/m²)*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)
2gH = V2² - (m0²/m²)*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²))/m²
H = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) = (0,5²*14² - 0,015*0,015*(400² - 2*400*200 + 200²)) / (0,5²*2*10) = 8 м
2) через кинематику
Брусок летит вниз не прямо, а по параболе, его движение при этом является движением тела, брошенного горизонтально. Такое движение можно разбить на две составляющие: горизонтальную (по оси Х) и вертикальную (по оси Y). По горизонтали брусок движется с постоянной скоростью V1 и проходит путь, равный:
Sx = Vx*t, где Vx = V1
По вертикали движение бруска неравномерное, с ускорением. Движение - свободное падение:
Sy = gt²/2
Скорость в начале падения равна нулю:
V0y = 0 => Vy = V0y + gt = 0 + gt = gt
Vy = gt - выразим время:
t = Vy/g - и подставим его в формулу вертикального перемещения:
Sy = gt²/2 = (g/2)*(Vy/g)² = Vy²/(2g)
Чтобы выразить Vy, надо понимать, что в момент падения на землю брусок имеет скорость V2, направленную под каким-то углом к земной поверхности. Эту скорость образуют составляющие Vx и Vy. А все три скорости образуют прямоугольный треугольник, из которого можно узнать любую его сторону, если известны две другие, но неизвестен угол. Скорость V2 - это гипотенуза, а скорость Vx = V1 и скорость Vy - это катеты. По правилу Пифагора:
a² = c² - b² => Vy² = V2² - Vx² = V2² - V1² = V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²
Теперь это можно подставить в формулу для вертикального перемещения, которое и будет равняться высоте крыши:
H = Sy = Vy²/(2g) = (V2² - ((m0/m)*(υ0 - υ1))²) / (2g) = (m²*V2² - m0²*(υ0² - 2υ0*υ1 + υ1²)) / (m²*2g) - пришли к тому же самому уравнению, что и в первом решении.
ответ: 8 м.
Дано:
R = 0,4 м
Р = 500 Вт
с = 3*10⁸ м/с
r = 1
p - ?
Монохроматический источник излучает волны с определённой интенсивностью. Интенсивность волны - это фактически мощность излучения, проходящего через единицу площади:
I = (W/t)/S, где W - энергия излучения, t - время излучения, S - площадь поверхности, через которую проходит излучение.
Отношение W/t - это мощность, то есть:
I = (W/t)/S = P/S
Так как источник точечный, то плотность потока его излучения (плотность потока излучения = интенсивность волны = мощность излучения через единицу площади поверхности - это всё одно и то же) убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до источника. Это как с силой тяготения - чем выше тело над поверхностью Земли, тем слабее Земля притягивает его. Так же и здесь - чем дальше источник излучения от поверхности, тем "слабее" поток этого излучения проходит через поверхность. Математически мы можем выразить это, если представим S как площадь поверхности шара:
S = 4πR² => I = P/S = P/(4πR²) = (P/4π) * (1/R²)
Ещё один (более понятный) пример зависимости плотности потока излучения от расстояния. Зимой наша Земля находится далеко от Солнца, а летом - ближе. Расстояние от планеты до Солнца зимой больше, а летом - меньше. Поэтому плотность потока солнечного излучения зимой меньше (холодно), а летом - больше (тепло). То есть, если бы Солнце было мощным лазером, а не сферическим источником, то оно излучало бы пучком, а не во все стороны, и тогда расстояние уже не играло бы особой роли.
Далее. Свет падает нормально, то есть перпендикулярно поверхности. Значит, косинус угла падения равен 0°, то есть равен единице. Если бы световые волны падали под углом, то интенсивность I умножалась бы на cosα между нормалью к поверхности n и направлением волн I (I - это ещё и вектор Умова-Пойнтинга, то есть это уже четвёртое понятие наряду с интенсивностью волны, плотностью потока...).
Каждая зеркальная поверхность имеет коэффициент отражения. Предполагается, что зеркальная поверхность в задаче имеет 100% отражающую , т.е. r = 1.
Давление, оказываемое светом, найдём по формуле Максвелла:
p = ω*(1 + r), где ω - объёмная плотность энергии излучения. Объёмную плотность можно выразить так:
ω = W/V, где V = S*R => ω = W/(S*R)
Но нам неудобно будет использовать R в этом выражении (потому что в конечном уравнении будет присутствовать не мощность Р, а энергия W, которая неизвестна по условиям), поэтому заменим R на произведение скорости волны с и времени t (ведь R - это расстояние, которое фотон проходит со скоростью света за время t):
R = ct => ω = W/(Sct) = (W/t)*(1/(Sc)) = P/(Sc) = (P/S)*(1/c) = I/c
ω = Ι/с => Ι = ω*с - это ещё одно выражение для плотности потока излучения (если добавить значок вектора над I и с, то это как раз и будет уравнение для вектора Умова-Пойнтинга).
В общем-то, все данные известны. Можем записать конечное уравнение для давления света:
p = ω*(1 + r) = I/c*(1 + r) = P/(4πR²*c)*(1 + r) = P*(1 + r)/(4πR²c) = 500*(1 + 1)/(4*3,14*0,4²*3*10⁸) = 1000/(4*3,14*0,16*3*10⁸) = 10³/(4*3,14*16*3*10⁸*10^-2) = 1/(4*3,14*16*3)*10^-3 = 1,6587... *10^-6 Па = 1,7*10^-6 Па = 1,7 мкПа.
ответ: 1,7 мкПа.
Р.S. Для записи краткого решения:
p = ω*(1 + r) - по формуле Максвелла
ω = Ι/с - из уравнения для модуля вектора Умова-Пойнтинга
Ι = W/(tS) - из уравнения интенсивности волны
W/t = P => I = P/S
S = 4πR² => I = P/(4πR²) => ω = P/(4πR²c) =>
=> p = P/(4πR²*c)*(1 + r) = P*(1 + r)/(4πR²c) = ...