Пуля, летящая горизонтально со скоростью V, попадает в шар, подвешенный на невесомом жёстком стержне, и застревает в нем. Масса пули – m, масса шара – М. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня – l. От удара пули стержень с шаром отклонился на угол α, поднявшись на высоту h. Принять g=10 м/с2. m=4,6г V=670 м/c l=1,51м α=5° Найти высоту h и массу шара M.
Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса и законом сохранения механической энергии.
Закон сохранения импульса:
p1 = p2,
где p1 - импульс пули до столкновения (так как пуля летит горизонтально, импульс в вертикальном направлении равен нулю),
p2 - импульс системы пуля + шар после столкновения.
Импульс - это произведение массы на скорость:
p1 = m * V,
p2 = (m + M) * u,
где u - скорость системы пуля + шар после столкновения.
Зная, что пуля застревает в шаре, можем записать следующее:
m * V = (m + M) * u.
Теперь приступим к закону сохранения механической энергии.
Первоначальная механическая энергия системы равна кинетической энергии пули:
E1 = (m * V^2) / 2.
После столкновения, при отклонении стержня на угол α, механическая энергия системы равна потенциальной энергии поднятой на высоту h массы шара и потенциальной энергии поднятой на высоту l-h массы стержня и пули:
E2 = (M * g * h) + ((m + M) * g * (l - h)).
Из закона сохранения механической энергии следует:
E1 = E2.
Таким образом, у нас есть два уравнения:
m * V = (m + M) * u,
(m * V^2) / 2 = (M * g * h) + ((m + M) * g * (l - h)).
Теперь решим систему данных уравнений.
Из первого уравнения можем выразить ускорение u через скорость пули V:
u = (m * V) / (m + M).
Подставим полученное значение во второе уравнение:
(m * V^2) / 2 = (M * g * h) + ((m + M) * g * (l - h)).
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
m * V^2 / 2 = M * g * h + m * g * (l - h) + M * g * (l - h).
Далее, приведем подобные слагаемые:
m * V^2 / 2 = M * g * h + m * g * l - m * g * h + M * g * l - M * g * h.
Сократим m * g * h с двух сторон уравнения:
m * V^2 / 2 = M * g * h + m * g * l - M * g * h.
Перенесем все слагаемые с M на одну сторону уравнения:
Закон сохранения импульса:
p1 = p2,
где p1 - импульс пули до столкновения (так как пуля летит горизонтально, импульс в вертикальном направлении равен нулю),
p2 - импульс системы пуля + шар после столкновения.
Импульс - это произведение массы на скорость:
p1 = m * V,
p2 = (m + M) * u,
где u - скорость системы пуля + шар после столкновения.
Зная, что пуля застревает в шаре, можем записать следующее:
m * V = (m + M) * u.
Теперь приступим к закону сохранения механической энергии.
Первоначальная механическая энергия системы равна кинетической энергии пули:
E1 = (m * V^2) / 2.
После столкновения, при отклонении стержня на угол α, механическая энергия системы равна потенциальной энергии поднятой на высоту h массы шара и потенциальной энергии поднятой на высоту l-h массы стержня и пули:
E2 = (M * g * h) + ((m + M) * g * (l - h)).
Из закона сохранения механической энергии следует:
E1 = E2.
Таким образом, у нас есть два уравнения:
m * V = (m + M) * u,
(m * V^2) / 2 = (M * g * h) + ((m + M) * g * (l - h)).
Теперь решим систему данных уравнений.
Из первого уравнения можем выразить ускорение u через скорость пули V:
u = (m * V) / (m + M).
Подставим полученное значение во второе уравнение:
(m * V^2) / 2 = (M * g * h) + ((m + M) * g * (l - h)).
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
m * V^2 / 2 = M * g * h + m * g * (l - h) + M * g * (l - h).
Далее, приведем подобные слагаемые:
m * V^2 / 2 = M * g * h + m * g * l - m * g * h + M * g * l - M * g * h.
Сократим m * g * h с двух сторон уравнения:
m * V^2 / 2 = M * g * h + m * g * l - M * g * h.
Перенесем все слагаемые с M на одну сторону уравнения:
M * g * h - M * g * h = m * V^2 / 2 - m * g * l.
Сокращаем M * g * h - M * g * h:
0 = m * V^2 / 2 - m * g * l.
Учитывая данные задачи, получаем:
0 = (4.6 * 10^-3 * 670^2) / 2 - 4.6 * 10^-3 * 10 * 1.51.
Решив данное уравнение, найдем значение h.
Далее, используя найденное значение h, мы сможем найти значение M с помощью первого уравнения.