- решить подробно с графиками задачи: 1. Ускорение материальной точки описывается уравнением ах= 1+2t2+t4. Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени t= 1 с. В начальный момент времени точка имела координату x0= 0 и скорость v0х= 1 м/с. Построить графики зависимостей x(t), vх(t) и aх(t).
2. Ускорение материальной точки описывается уравнением ах= 1+t4+t6. Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени t= 2 с. В начальный момент времени точка имела координату x0= 0 и скорость v0х= 1 м/с. Построить графики зависимостей x(t), vх(t) и aх(t).
3. Движение материальной точки в пространстве задано уравнениями: x= 2 + 4t2;y= 3t;z= 3t+ 4t2. Найти модули радиус-вектора, скорости и ускорения точки в момент времени t = 2 с.
4. Маховое колесо спустя t = 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую частоте n = 720 об/мин. Найти угловое ускорение e колеса и число оборотов N колеса за эту минуту. Движение считать равноускоренным.
5. Тело движется по криволинейной траектории, имеющей радиус кривизны R = 10 м. Закон движения тела S = Вt + Сt2, где С = 2 м/с2, B = 4 м/с. Определить линейную v и угловую w скорость, а также нормальное ускорение an тела в момент времени t = 3 c.
6. Два одинаковых груза массой m1=m2= 2 кг связаны невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок с неподвижной осью. На один из грузов кладут перегрузок массы m3= 500 г. С каким ускорением a будут двигаться грузы?
7. Тело, имеющее момент инерции Jz = 50 кг·м2, вращается с частотой n = 10 об/c. Какой момент силы Mz следует приложить к телу, чтобы частота вращения увеличилась вдвое за время t = 20 с?
8. После абсолютно упругого удара две одинаковые шайбы разлетелись в разные стороны со скоростями u1= 5 м/с и u2= 10 м/с. Определить скорости v1 и v2 шайб до удара.
9. Человек, стоящий на расстоянии r = 2 м от оси покоящейся горизонтальной круглой платформы, ловит мяч, летящий на него со скоростью v = 10 м/с. Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r от оси платформы. Масса мяча m= 0,55 кг. Момент инерции платформы с человеком Jz= 100 кг·м2. Определить, с какой угловой скоростью w начнет вращаться платформа.
10. К балке массой 200 кг и длиной 5 м подвешен груз массой 250 кг на расстоянии 3 м от одного из концов. Балка своими концами лежит на опорах. Каковы силы давления на каждую из опор.
11. Гирька массой 50 г, привязанная к нити длиной 25 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гирьки 2 об/с. Найти силу натяжения нити.
1. Ускорение материальной точки описывается уравнением ах = 1 + 2t^2 + t^4. Нам нужно найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени t = 1 с. В начальный момент времени точка имела координату x0 = 0 и скорость v0x = 1 м/с. Построить графики зависимостей x(t), vх(t) и aх(t).
Для начала найдем координату точки в момент времени t = 1 c. Для этого интегрируем дважды уравнение ускорения:
ах = 1 + 2t^2 + t^4
Интегрируем первый раз по времени t:
vх = ∫ (1 + 2t^2 + t^4) dt = t + (2/3)*t^3 + (1/5)*t^5 + C1,
где C1 - постоянная интегрирования.
Теперь найдем значение скорости в момент времени t = 1 с, подставив в найденное выражение значение t = 1 с:
vх(1) = 1 + (2/3)*1^3 + (1/5)*1^5 + C1.
Также из условия задачи нам известна начальная скорость v0x = 1 м/с, поэтому получим уравнение для нахождения константы C1:
1 + (2/3)*1^3 + (1/5)*1^5 + C1 = 1.
Упрощаем уравнение и находим значение C1:
1 + (2/3) + (1/5) + C1 = 1,
C1 = -4/15.
Таким образом, найденное выражение для скорости будет:
vх = t + (2/3)*t^3 + (1/5)*t^5 - 4/15.
Теперь найдем выражение для координаты x(t). Для этого интегрируем второй раз по времени t:
x(t) = ∫ (t + (2/3)*t^3 + (1/5)*t^5 - 4/15) dt = (1/2)*t^2 + (1/12)*t^4 + (1/30)*t^6 - (4/15)*t + C2.
где C2 - постоянная интегрирования.
Теперь найдем значение координаты в момент времени t = 1 c, подставим t = 1 в выражение и учтем начальное условие x0 = 0:
x(1) = (1/2)*1^2 + (1/12)*1^4 + (1/30)*1^6 - (4/15)*1 + C2 = 0.
Упрощая уравнение и находим значение C2:
1/2 + 1/12 + 1/30 - 4/15 + C2 = 0,
C2 = 1008/1800 - 360/1800 - 72/1800 + 240/1800 = 816/1800.
Таким образом, получаем выражение для координаты x(t):
x(t) = (1/2)*t^2 + (1/12)*t^4 + (1/30)*t^6 - (4/15)*t + 816/1800.
Теперь построим графики зависимостей x(t), vх(t) и aх(t).
На оси абсцисс будем откладывать время t, а на оси ординат - соответствующие значения x, vх и aх.
График x(t) будет представлять собой параболу в форме "U" с вершиной в точке t = 1 с.
График vх(t) будет представлять собой кривую, похожую на параболу, с вершиной в точке t = 1 с.
График aх(t) будет представлять собой график ускорения, который будет равен 1 + 2t^2 + t^4.
Таким образом, мы решим задачу и построим графики для задачи номер 1. Перейдем к решению следующей задачи.