Шарик массой 400 г подвешен на пружине. Собственная частота колебаний шарика равна 15 рад/с, а начальная амплитуда колебаний равна 40 см. Известно, что система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Через какое время после начала затухания колебаний шарик остановится
Шарик находится подвешенным на пружине, поэтому он осуществляет гармонические колебания. Закон гармонических колебаний устанавливает, что период колебаний обратно пропорционален квадратному корню из жесткости пружины и прямо пропорционален квадратному корню из массы, то есть:
Т = 2π√(m/k),
где Т - период колебаний, m - масса шарика, k - коэффициент жесткости пружины.
Выразим коэффициент жесткости пружины:
k = (4π²m)/(T²).
В данной задаче сказано, что собственная частота колебаний равна 15 рад/с, что соответствует периоду Т = 1/15 с.
Подставим эти значения и массу шарика m = 400 г = 0,4 кг, чтобы найти коэффициент жесткости пружины k:
k = (4π² * 0,4) / (1/15)² = 6π² * 0,4 * 15² ≈ 424,6 Н/м.
Теперь мы знаем коэффициент жесткости пружины.
Используем закон сохранения энергии, который утверждает, что сумма потенциальной и кинетической энергии колеблющейся системы остается постоянной.
E = (1/2)kA²,
где E - энергия колеблющейся системы, k - коэффициент жесткости пружины, A - амплитуда колебаний.
В нашей задаче сказано, что амплитуда колебаний равна 40 см = 0,4 м, а система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Затухание колебаний означает, что энергия системы убывает.
Используем данную информацию, чтобы найти начальную энергию системы E₀:
E₀ = (1/2)kA₀²,
где A₀ - начальная амплитуда колебаний.
Подставим значения k ≈ 424,6 Н/м и A₀ = 0,4 м в эту формулу:
E₀ = (1/2) * 424,6 * (0,4)² ≈ 33,97 Дж.
Теперь мы знаем начальную энергию системы E₀ и скорость ее снижения.
Чтобы определить, через какое время шарик остановится, используем следующее соотношение:
P = ΔE/Δt,
где P - мощность потери энергии, ΔE - изменение энергии системы, Δt - изменение времени.
В нашей задаче сказано, что система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Подставим это значение в формулу:
2 = ΔE/Δt.
Мы знаем, что начальная энергия системы E₀ = 33,97 Дж. Так как система теряет энергию, то E₀ будет больше конечной энергии системы E, то есть:
ΔE = E - E₀ = -E₀.
Используем эти значения в уравнении:
2 = -E₀/Δt.
Решим уравнение относительно Δt:
Δt = -E₀/2 = -33,97/2 ≈ -16,985 с.
Знак минус означает, что время Δt является отрицательным числом. Время Δt определяет интервал времени, через который шарик остановится после начала затухания колебаний.
Ответ: шарик остановится примерно через 16,985 секунд после начала затухания колебаний.