Широкая лента транспортера находится в одной горизонтальной плоскости с поверхностью стола и движется с постоянной скоростью V₁ равной 2,5 м/с (см. рис.1). На ленту попадает небольшая шайба, двигавшаяся по столу со скоростью V₂ равной 1,2 м/с, направленной под таким углом α к краю ленты, что cos α = 0,15. Коэффициент трения скольжения шайбы по ленте равен 0,3. Ускорение свободного падения 10 м/с². В лабораторной системе отсчета найдите радиус кривизны траектории шайбы в малой окрестности той точки, где скорость шайбы наименьшая по величине. ответ приведите в [см].
Для решения данной задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и закон Ньютона.
Начнем с закона сохранения энергии. Поскольку шайба движется по горизонтальной поверхности, у нас есть только кинетическая энергия.
Кинетическая энергия шайбы на столе: K₁ = (1/2) * m * V₂², где m - масса шайбы, V₂ - скорость шайбы на столе.
Кинетическая энергия шайбы на ленте: K₂ = (1/2) * m * V₃², где V₃ - скорость шайбы на ленте.
Так как коэффициент трения скольжения шайбы по ленте равен 0,3, то величина силы трения T равна F = μ * m * g, где μ - коэффициент трения, g - ускорение свободного падения.
Теперь применим закон Ньютона. Так как шайба движется по кривой траектории на ленте, возникает центростремительная сила Fцс. Она направлена к центру окружности и вызывает изменение направления скорости шайбы. Эта сила будет уравновешивать силу трения и направлена в плоскости кривой траектории. Уравнение для силы центростремительной силы Fцс можно записать как: Fцс = m * aцс, где aцс - центростремительное ускорение.
Так как шайба движется с постоянной скоростью V₁ на ленте, то a₃ будет равно нулю (так как a₃ = ΔV₃/Δt, но ΔV₃ равно нулю, так как скорость постоянная). Таким образом, центростремительное ускорение (aцс) будет равно трению скольжения (aцс = μ * g).
Теперь мы можем записать уравнение для силы трения скольжения T: T = m * aцс = μ * m * g.
Выразим силу трения T: T = μ * m * g = μ * m * aцс.
Так как сила центростремительная сила Fцс и сила трения T равны, можно записать равенство μ * m * aцс = (1/2) * m * V₃².
Упростим уравнение и уберем массу шайбы с обеих сторон: μ * aцс = (1/2) * V₃².
Так как aцс = μ * g, подставим это значение в уравнение и упростим его: μ * (μ * g) = (1/2) * V₃².
Теперь найдем радиус кривизны траектории шайбы.
Радиус кривизны р в малой окрестности точки, где скорость шайбы наименьшая, можно найти по следующей формуле: r = (V₃² * cos α) / (μ * g).
Подставим известные значения и решим уравнение: r = (V₃² * cos α) / (μ * g) = (2,5² * 0,15) / (0,3 * 10).
Вычисляем: r = (6,25 * 0,15) / 3 = 0,3125 / 3 ≈ 0,10417 м.
Таким образом, радиус кривизны траектории шайбы в малой окрестности точки, где скорость наименьшая, равен примерно 0,10417 метра или 10,4 сантиметра.
Начнем с закона сохранения энергии. Поскольку шайба движется по горизонтальной поверхности, у нас есть только кинетическая энергия.
Кинетическая энергия шайбы на столе: K₁ = (1/2) * m * V₂², где m - масса шайбы, V₂ - скорость шайбы на столе.
Кинетическая энергия шайбы на ленте: K₂ = (1/2) * m * V₃², где V₃ - скорость шайбы на ленте.
Так как коэффициент трения скольжения шайбы по ленте равен 0,3, то величина силы трения T равна F = μ * m * g, где μ - коэффициент трения, g - ускорение свободного падения.
Теперь применим закон Ньютона. Так как шайба движется по кривой траектории на ленте, возникает центростремительная сила Fцс. Она направлена к центру окружности и вызывает изменение направления скорости шайбы. Эта сила будет уравновешивать силу трения и направлена в плоскости кривой траектории. Уравнение для силы центростремительной силы Fцс можно записать как: Fцс = m * aцс, где aцс - центростремительное ускорение.
Так как шайба движется с постоянной скоростью V₁ на ленте, то a₃ будет равно нулю (так как a₃ = ΔV₃/Δt, но ΔV₃ равно нулю, так как скорость постоянная). Таким образом, центростремительное ускорение (aцс) будет равно трению скольжения (aцс = μ * g).
Теперь мы можем записать уравнение для силы трения скольжения T: T = m * aцс = μ * m * g.
Выразим силу трения T: T = μ * m * g = μ * m * aцс.
Так как сила центростремительная сила Fцс и сила трения T равны, можно записать равенство μ * m * aцс = (1/2) * m * V₃².
Упростим уравнение и уберем массу шайбы с обеих сторон: μ * aцс = (1/2) * V₃².
Так как aцс = μ * g, подставим это значение в уравнение и упростим его: μ * (μ * g) = (1/2) * V₃².
Теперь найдем радиус кривизны траектории шайбы.
Радиус кривизны р в малой окрестности точки, где скорость шайбы наименьшая, можно найти по следующей формуле: r = (V₃² * cos α) / (μ * g).
Подставим известные значения и решим уравнение: r = (V₃² * cos α) / (μ * g) = (2,5² * 0,15) / (0,3 * 10).
Вычисляем: r = (6,25 * 0,15) / 3 = 0,3125 / 3 ≈ 0,10417 м.
Таким образом, радиус кривизны траектории шайбы в малой окрестности точки, где скорость наименьшая, равен примерно 0,10417 метра или 10,4 сантиметра.