Рассмотрим движение двух столбиков воды массой m. за счет работы внешней силы F их скорость с нуля изменяется до v (в трубе диаметра D) и u (в трубе диаметра d)
за время Δt сила F совершает работу A = F v Δt. эта работа идет на приращение кинетической энергии столбиков воды:
F v Δt = (m/2) * (u² - v²)
разумеется, мы рассматриваем ламинарное стационарное течение идеальной жидкости (то есть, жидкость несжимаемая и не вязкая). поэтому изменение объема столбика в части трубы диаметра D равно изменению объема столбика воды в части трубы диаметра d: S1 v Δt = S2 u Δt или v (π D²)/4 = u (π d²)/4, то есть
u = v (D/d)² (полученное выше равенство также называется теоремой о неразрывности струи)
масса столбика воды: m = p V = p (π D²)/4 * v Δt
объединяя все полученные выше выражения, получаем:
помимо прочего, можно решить несколько проще через закон Бернулли:
P1 + (p v²)/2 = P2 + (p u²)/2, где
P1 = (4 F)/(π D²) - давление, оказываемое на столбик воды поршнем (p v²)/2 и (p u²)/2 - плотности кинетических энергий P2 = 0, т.к. в трубе диаметра d на столбик воды давление не оказывается. считаем, что атмосферного давления нет
из уравнения Бернулли, используя теорему о неразрывности струи, нетрудно получить тот же ответ
за время Δt сила F совершает работу A = F v Δt. эта работа идет на приращение кинетической энергии столбиков воды:
F v Δt = (m/2) * (u² - v²)
разумеется, мы рассматриваем ламинарное стационарное течение идеальной жидкости (то есть, жидкость несжимаемая и не вязкая). поэтому изменение объема столбика в части трубы диаметра D равно изменению объема столбика воды в части трубы диаметра d: S1 v Δt = S2 u Δt или v (π D²)/4 = u (π d²)/4, то есть
u = v (D/d)² (полученное выше равенство также называется теоремой о неразрывности струи)
масса столбика воды: m = p V = p (π D²)/4 * v Δt
объединяя все полученные выше выражения, получаем:
помимо прочего, можно решить несколько проще через закон Бернулли:
P1 + (p v²)/2 = P2 + (p u²)/2, где
P1 = (4 F)/(π D²) - давление, оказываемое на столбик воды поршнем
(p v²)/2 и (p u²)/2 - плотности кинетических энергий
P2 = 0, т.к. в трубе диаметра d на столбик воды давление не оказывается. считаем, что атмосферного давления нет
из уравнения Бернулли, используя теорему о неразрывности струи, нетрудно получить тот же ответ
p(в) g Vпогр = m(ц) g + m(л) g, где
Vпогр - объем погруженной части льда, m(ц) и m(л) - масса цинка и льда соответственно
поэтому объем погруженной части льда равен:
Vпогр = (m(ц)/p(в)) + (m(л)/p(в))
пусть вначале столб воды в сосуде имел высоту h1, а после таяния льда - высоту h2. тогда
h1 = (V1 + Vпогр)/S
h2 = (V1 + Vц + V0)/S, где
V1 - объем воды изначально (он никуда не девается), Vц - объем цинковой пластинки, V0 - объем воды, образовавшейся из льда
будем считать, что масса льда равна массе растаявшего льда. тогда V0 = m(л)/p(в). то есть, выражение для Vпогр примет вид:
Vпогр = (m(ц)/p(в)) + V0
уровень воды в сосуде понизился на величину:
Δh = h1 - h2 = (V1 + Vпогр - Vц - V0 - V1)/S
Δh = ((m(ц)/p(в)) + V0 - Vц - V0)/S
Δh = (m(ц)/S) * ((p(ц) - p(в))/(p(в) p(ц)))
площадь основания сосуда равна S = πd²/4. с учетом этого получаем
m(ц) = (π d² p(в) p(ц) Δh)/(4 (p(ц) - p(в))) ≈ 2.47 кг