Ось Ox направим слева направо. Пусть цилиндр вращается так, что он начнёт катиться по доске направо. Значит, вначале движения по доске нижняя поверхность цилиндра при трении о доску будет двигаться налево. При этом возникнет сила трения Fтр, приложенная к цилиндру и направленная против движения нижней поверхности цилиндра, т.е. направо.
Таким образом, с учётом третьего закона Ньютона, сила трения будет разгонять уилиндр направо и разгонять доску налево.
Поскольку изначально общий импульс был равен нулю, то значит и конечный импульс равень нулю. Так что: MV = mv, где V – модуль скорости доски, а v – модуль скорости центра масс цилиндра.
Отсюда: v = VM/m ; [1]
А скорость центра масс цилиндра относительно доски составит: V+v = V + VM/m = V ( 1 + M/m ) ;
Для отсутствия проскальзывания, относительная скорость цилиндра должна соотноситься с вращением ω, как: [V+v]/R = ω ; ω = [V/R] ( 1 + M/m ) ; [2]
По второму закону Ньютона в приложении к доске: Fтр = Ma , где a – ускорение доски ;
По второму закону Ньютона во вращательной форме в приложении к цилиндру: RFтр = –[mR²/2]ω' , где mR²/2 – момент инерции цилиндра ; знак минус учитывает замедление вращения ;
Объединяя последние равенства, получаем: RMa = –[mR²/2]ω' ; 2[M/m] dv/dt = –R dω/dt ; 2[M/m]dv = –R dω ; 2[M/m](V–0) = –R(ω–ωo) , подставляем сюда [2] : 2VM/m = R ωo – V ( 1 + M/m ) ; 2VM/m + V ( 1 + M/m ) = R ωo ; V ( 2M/m + 1 + M/m ) = R ωo ; V ( 3M/m + 1 ) = R ωo ;
V = R ωo / [ 3M/m + 1 ] – это v2 по условию,
из [1] : v = R ωo / [ 3 + m/M ] – это v1 по условию.
Выберем положительное направление скорости - вправо выберем положительное направление угловой скорости по часовой стрелке очевидно что выполняется закон сохранения импульса поэтому m*v1+M*v2=0 в отсутствии проскальзывания выполняется кинематическая связь w=(v1-v2)/R изменение момента импульса диска пошло на изменение момента импульса доски J*w0=J*w-M*v2*R J=mR^2/2
Таким образом, с учётом третьего закона Ньютона, сила трения будет разгонять уилиндр направо и разгонять доску налево.
Поскольку изначально общий импульс был равен нулю, то значит и конечный импульс равень нулю. Так что:
MV = mv, где V – модуль скорости доски, а v – модуль скорости центра масс цилиндра.
Отсюда: v = VM/m ; [1]
А скорость центра масс цилиндра относительно доски составит:
V+v = V + VM/m = V ( 1 + M/m ) ;
Для отсутствия проскальзывания, относительная скорость цилиндра должна соотноситься с вращением ω, как:
[V+v]/R = ω ;
ω = [V/R] ( 1 + M/m ) ; [2]
По второму закону Ньютона в приложении к доске:
Fтр = Ma , где a – ускорение доски ;
По второму закону Ньютона во вращательной форме в приложении к цилиндру:
RFтр = –[mR²/2]ω' , где mR²/2 – момент инерции цилиндра ; знак минус учитывает замедление вращения ;
Объединяя последние равенства, получаем:
RMa = –[mR²/2]ω' ;
2[M/m] dv/dt = –R dω/dt ;
2[M/m]dv = –R dω ;
2[M/m](V–0) = –R(ω–ωo) , подставляем сюда [2] :
2VM/m = R ωo – V ( 1 + M/m ) ;
2VM/m + V ( 1 + M/m ) = R ωo ;
V ( 2M/m + 1 + M/m ) = R ωo ;
V ( 3M/m + 1 ) = R ωo ;
V = R ωo / [ 3M/m + 1 ] – это v2 по условию,
из [1] :
v = R ωo / [ 3 + m/M ] – это v1 по условию.
выберем положительное направление угловой скорости по часовой стрелке
очевидно что выполняется закон сохранения импульса поэтому
m*v1+M*v2=0
в отсутствии проскальзывания выполняется кинематическая связь
w=(v1-v2)/R
изменение момента импульса диска пошло на изменение момента импульса доски
J*w0=J*w-M*v2*R
J=mR^2/2
m*v1+M*v2=0
w=(v1-v2)/R
J*w0=J*w-M*v2*R
J=mR^2/2
v2=-m*v1/M
w=(v1+m*v1/M)/R
J*w0=J*w+M*m*v1/M*R
J=mR^2/2
v2=-m*v1/M
w=v1*(1+m/M)/R
w=w0-m*v1*R/J
J=mR^2/2
v2=-m*v1/M
v1*(1+m/M)/R=w0-m*v1*R/J
J=mR^2/2
v2=-m*v1/M
v1*(1+m/M+mR^2/J)/R=w0
J=mR^2/2
v2=-m*v1/M
v1=w0*R/(1+m/M+mR^2/J)=w0*R/(1+m/M+mR^2/(mR^2/2))=w0*R/(3+m/M)
v1=w0*R*M/(3M+m)
v2=-m*v1/M=-w0*R*m/(3*M+m)