Скакой угловой скоростью должен вращаться сосуд в виде усеченного конуса, чтобы шарик, лежащий на его дне, выкатился из него? диаметр верхнего основания равен d. стенки сосуда наклонены к горизонту под углом a.
Для того чтобы шарик выкатился из сосуда, необходимо создать достаточную угловую скорость вращения. Найдем эту скорость.
Вначале ответим на вопрос, какой должна быть соотносительная угловая скорость шарика, чтобы он оставался на месте. Для этого рассмотрим силы, действующие на шарик. По закону Гooke'a сила упругости, действующая на шарик, пропорциональна его смещению относительно равновесного положения и направлена противоположно этому смещению. Сила упругости равна F = -kx, где k - коэффициент упругости, а х - смещение. Под действием силы упругости на шарик действует сила трения, направленная вдоль стенок сосуда и пропорциональная нормальной силе сопротивления Fn = kxsin(Угол наклона стенок сосуда). С такими значениями сил шарик будет оставаться на месте.
Теперь нужно найти угловую скорость, при которой сумма сил, действующих на шарик, будет равна нулю. Поскольку сила трения зависит от диаметра D, можно записать, что Fтрения = -Fn = kxsin(a) = Mшарик * g,
где Мшарик - масса шарика, g - ускорение свободного падения.
Угловая скорость шарика можно найти, зная, что Fтрения = m * a, где m - масса шарика, а - его ускорение. Поскольку a = R * угловое ускорение, где R - радиус шарика, можем записать ml * R * угловое ускорение = ml * g * R, где m - масса шарика, l - расстояние от центра шарика до его дна (полый конус).
Таким образом, ml * R * угловое ускорение = ml * g * R, и угловая скорость задается формулой: угловая скорость = g / l.
Ответ: угловая скорость должна быть равна ускорению свободного падения g, деленному на расстояние l от центра шарика до его дна (полого конуса).
Обоснование: Приводное выкатывание шарика из полого конуса является примером динамического равновесия, когда механическая система находится в состоянии покоя или движения без изменения кинетической энергии и потенциальной энергии системы. В данном случае, шарик находится в динамическом равновесии на дне полого конуса, что означает, что сила упругости, действующая на него, компенсируется силой трения, что обеспечивает его неподвижность. Таким образом, необходимо создать угловую скорость вращения сосуда, которая будет создавать силу трения, превышающую силу упругости на шарике, чтобы он выскочил из сосуда.
Постепенное решение:
1. Запишем условие задачи:
- Радиус верхнего основания конуса: r = d/2
- Угол наклона стенок сосуда к горизонту: a
- Силы, действующие на шарик:
- Сила упругости: Fупр = -kx, где k - коэффициент упругости, x - смещение
- Сила трения, направленная вдоль стенок сосуда и пропорциональная нормальной силе сопротивления Fn = kxsin(a)
2. Найдем условие равновесия для шарика:
Fупр = -Fn = kxsin(a)
=> kx = ml * g, где m - масса шарика, l - расстояние от центра шарика до его дна
3. Найдем ускорение шарика:
ml * R * угловое ускорение = ml * g * R
=> ml * R * угловое ускорение = ml * g * R
=> угловое ускорение = g / l
4. Заключение:
Угловая скорость должна быть равна ускорению свободного падения g, деленному на расстояние l от центра шарика до его дна (полого конуса). Это значит, что сосуд должен вращаться с такой скоростью, чтобы создать силы, превышающие силы упругости на шарике и обеспечивающие его выход из сосуда.
Вначале ответим на вопрос, какой должна быть соотносительная угловая скорость шарика, чтобы он оставался на месте. Для этого рассмотрим силы, действующие на шарик. По закону Гooke'a сила упругости, действующая на шарик, пропорциональна его смещению относительно равновесного положения и направлена противоположно этому смещению. Сила упругости равна F = -kx, где k - коэффициент упругости, а х - смещение. Под действием силы упругости на шарик действует сила трения, направленная вдоль стенок сосуда и пропорциональная нормальной силе сопротивления Fn = kxsin(Угол наклона стенок сосуда). С такими значениями сил шарик будет оставаться на месте.
Теперь нужно найти угловую скорость, при которой сумма сил, действующих на шарик, будет равна нулю. Поскольку сила трения зависит от диаметра D, можно записать, что Fтрения = -Fn = kxsin(a) = Mшарик * g,
где Мшарик - масса шарика, g - ускорение свободного падения.
Угловая скорость шарика можно найти, зная, что Fтрения = m * a, где m - масса шарика, а - его ускорение. Поскольку a = R * угловое ускорение, где R - радиус шарика, можем записать ml * R * угловое ускорение = ml * g * R, где m - масса шарика, l - расстояние от центра шарика до его дна (полый конус).
Таким образом, ml * R * угловое ускорение = ml * g * R, и угловая скорость задается формулой: угловая скорость = g / l.
Ответ: угловая скорость должна быть равна ускорению свободного падения g, деленному на расстояние l от центра шарика до его дна (полого конуса).
Обоснование: Приводное выкатывание шарика из полого конуса является примером динамического равновесия, когда механическая система находится в состоянии покоя или движения без изменения кинетической энергии и потенциальной энергии системы. В данном случае, шарик находится в динамическом равновесии на дне полого конуса, что означает, что сила упругости, действующая на него, компенсируется силой трения, что обеспечивает его неподвижность. Таким образом, необходимо создать угловую скорость вращения сосуда, которая будет создавать силу трения, превышающую силу упругости на шарике, чтобы он выскочил из сосуда.
Постепенное решение:
1. Запишем условие задачи:
- Радиус верхнего основания конуса: r = d/2
- Угол наклона стенок сосуда к горизонту: a
- Силы, действующие на шарик:
- Сила упругости: Fупр = -kx, где k - коэффициент упругости, x - смещение
- Сила трения, направленная вдоль стенок сосуда и пропорциональная нормальной силе сопротивления Fn = kxsin(a)
2. Найдем условие равновесия для шарика:
Fупр = -Fn = kxsin(a)
=> kx = ml * g, где m - масса шарика, l - расстояние от центра шарика до его дна
3. Найдем ускорение шарика:
ml * R * угловое ускорение = ml * g * R
=> ml * R * угловое ускорение = ml * g * R
=> угловое ускорение = g / l
4. Заключение:
Угловая скорость должна быть равна ускорению свободного падения g, деленному на расстояние l от центра шарика до его дна (полого конуса). Это значит, что сосуд должен вращаться с такой скоростью, чтобы создать силы, превышающие силы упругости на шарике и обеспечивающие его выход из сосуда.