Теннисный мяч, падая с высоты h, поднимается на высоту h1, на какую высоту он поднимется после n-го удара,коэффициент восстановления считать постоянным, коэффициент восстановления наывается отношение скорости до удара к скорости после

рассмотрим 1 удар

до удара

потенц энергия  Еп=mgh

кинет энергия  Ек =mv^2/2

по закону сохранения  энергии равны  Еп=Ек ; mgh =mv^2/2 ; gh =v^2/2        (1)

после удара

потенц энергия  Еп1=mgh1

кинет энергия  Ек1 =mv1^2/2

по закону сохранения  энергии равны  Еп1=Ек1 ; mgh1 =mv1^2/2 ; gh1 =v1^2/2  (2)

разделим  (1)  на (2)

gh / gh1=v^2/2   / v1^2/2

h / h1=v^2  / v1^2

h1 = h (v1/v)^2  считать постоянным, коэффициент восстановления k

h1 = h k^2                    (3)

рассмотрим 2 удар

до удара

потенц энергия  Еп1=mgh1

кинет энергия  Ек1 =mv1^2/2

по закону сохранения  энергии равны  Еп1=Ек1 ; mgh1 =mv1^2/2 ; gh1 =v1^2/2        (4)

после удара

потенц энергия  Еп2=mgh2

кинет энергия  Ек2 =mv2^2/2

по закону сохранения  энергии равны  Еп2=Ек2 ; mgh2 =mv2^2/2 ; gh2 =v2^2/2  (5)

разделим  (4)  на (5)

gh1 / gh2=v1^2/2   / v2^2/2

h1 / h2=v1^1  / v2^2

h2 = h1 (v2/v1)^2  считать постоянным, коэффициент восстановления k

h2 = h1 k^2   подставим из (3)  значение h1 = h k^2 

h2 = h k^2 * k^2 = h* ( k^2 )^2         (6)

и так далее 

после n -го  удара  уравнение  (6)   имеет вид

 h(n)= h* ( k^2 )^n = h*k^(2n)