Тонкостенный стакан массой 50г плавает в вертиальном положении на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей с плотностями ρ1 = 800 г/м3 и ρ2 = 103 г/м3 (рис. 6.6.3). Определите глубину погружения Н стакана в нижнюю жидость, если дно стакана имеет толщину h = 1 см и площадь S = = 3 · 10^–3 м2, а сам стакан заполнен жидкостью плотностью ρ1.
Для решения данной задачи мы можем использовать принцип Архимеда, который гласит, что на тело, находящееся в жидкости, действует поддерживающая сила, равная весу вытесненной жидкости. Если эта сила больше веса тела, то тело будет плавать, а если меньше, то тело уйдет на дно.
Для начала рассчитаем вес стакана, который задан массой 50 г:
W = mg = 50 г * 9,8 Н/кг = 0,49 Н
Далее рассмотрим границу раздела двух жидкостей в стакане. Мы можем разбить условие задачи на две части: граница раздела жидкостей снаружи стакана и граница раздела жидкостей внутри стакана.
1. Граница раздела жидкостей снаружи стакана:
На этой границе действуют следующие силы:
- вес стакана W (не забывайте, что вес действует вниз);
- поддерживающая сила Архимеда на стакан, которая направлена вверх и равна весу жидкости, вытесненной стаканом.
Поскольку стакан плавает, то эти две силы равны по модулю и направлены в разные стороны. То есть:
W = Архимеда
0,49 Н = Архимеда
2. Граница раздела жидкостей внутри стакана:
На этой границе мы также имеем две силы:
- вес стакана с жидкостью внутри;
- поддерживающая сила Архимеда на жидкость, заключенную в стакане.
Поддерживающая сила Архимеда определяется по формуле:
Архимеда = плотность жидкости * g * объем вытесненной жидкости
Так как стакан плавает, то эти силы также равны по модулю и направлены в разные стороны. То есть:
W + Вес жидкости внутри стакана = Архимеда
0,49 Н + Вес жидкости внутри стакана = Архимеда
Теперь мы можем перейти к решению задачи.
Первым делом найдем массу жидкости внутри стакана. Для этого умножим плотность жидкости на ее объем:
m_жидкость = ρ_жидкость * V_жидкость
Объем жидкости внутри стакана можно найти, вычтя объем воздуха, оставшегося в стакане, из общего объема стакана:
V_жидкость = V_стакана - V_воздуха
V_стакана = S * h (площадь дна стакана умноженная на высоту дна)
V_воздуха = S * h_воздуха (площадь дна стакана умноженная на высоту воздуха внутри стакана)
Теперь можем найти массу жидкости внутри стакана:
m_жидкость = ρ_жидкость * (S * h - S * h_воздуха)
Стакан заполнен жидкостью с плотностью ρ1 = 800 г/м3, поэтому:
m_жидкость = 800 г/м3 * (S * h - S * h_воздуха)
И раз мы знаем, что Архимедова сила равна 0,49 Н, можем записать уравнение:
0,49 Н + 800 г/м3 * (S * h - S * h_воздуха) = 0,49 Н (1)
Теперь приступим к нахождению глубины погружения Н стакана в нижнюю жидкость. Эта глубина будет равна высоте воздуха внутри стакана h_воздуха. Мы знаем, что этот воздух оказывает некую дополнительную поддерживающую силу, поэтому можем пренебречь его весом.
Подставляя h_воздуха = h - Н в уравнение (1), получим:
0,49 Н + 800 г/м3 * (S * h - S * (h - Н)) = 0,49 Н
Теперь решим полученное уравнение относительно Н.
0,49 Н + 800 г/м3 * S * h - 800 г/м3 * S * (h - Н) = 0,49 Н
Раскроем скобки:
0,49 Н + 800 г/м3 * S * h - 800 г/м3 * S * h + 800 г/м3 * S * Н = 0,49 Н
Сократим одинаковые члены слева и справа:
800 г/м3 * S * Н = 0
Раскроем скобки и сократим единицы измерения:
800 г * 3 * 10^(-3) м2 * Н = 0
Мы получили, что левая часть равенства равна нулю. Это значит, что глубина погружения Н стакана в нижнюю жидкость равна нулю. То есть, стакан плавает полностью на границе раздела двух жидкостей и его дно не касается нижней жидкости.
Итак, ответ на вопрос задачи: глубина погружения Н стакана в нижнюю жидкость равна нулю.
Для начала рассчитаем вес стакана, который задан массой 50 г:
W = mg = 50 г * 9,8 Н/кг = 0,49 Н
Далее рассмотрим границу раздела двух жидкостей в стакане. Мы можем разбить условие задачи на две части: граница раздела жидкостей снаружи стакана и граница раздела жидкостей внутри стакана.
1. Граница раздела жидкостей снаружи стакана:
На этой границе действуют следующие силы:
- вес стакана W (не забывайте, что вес действует вниз);
- поддерживающая сила Архимеда на стакан, которая направлена вверх и равна весу жидкости, вытесненной стаканом.
Поскольку стакан плавает, то эти две силы равны по модулю и направлены в разные стороны. То есть:
W = Архимеда
0,49 Н = Архимеда
2. Граница раздела жидкостей внутри стакана:
На этой границе мы также имеем две силы:
- вес стакана с жидкостью внутри;
- поддерживающая сила Архимеда на жидкость, заключенную в стакане.
Поддерживающая сила Архимеда определяется по формуле:
Архимеда = плотность жидкости * g * объем вытесненной жидкости
Так как стакан плавает, то эти силы также равны по модулю и направлены в разные стороны. То есть:
W + Вес жидкости внутри стакана = Архимеда
0,49 Н + Вес жидкости внутри стакана = Архимеда
Теперь мы можем перейти к решению задачи.
Первым делом найдем массу жидкости внутри стакана. Для этого умножим плотность жидкости на ее объем:
m_жидкость = ρ_жидкость * V_жидкость
Объем жидкости внутри стакана можно найти, вычтя объем воздуха, оставшегося в стакане, из общего объема стакана:
V_жидкость = V_стакана - V_воздуха
V_стакана = S * h (площадь дна стакана умноженная на высоту дна)
V_воздуха = S * h_воздуха (площадь дна стакана умноженная на высоту воздуха внутри стакана)
Теперь можем найти массу жидкости внутри стакана:
m_жидкость = ρ_жидкость * (S * h - S * h_воздуха)
Стакан заполнен жидкостью с плотностью ρ1 = 800 г/м3, поэтому:
m_жидкость = 800 г/м3 * (S * h - S * h_воздуха)
И раз мы знаем, что Архимедова сила равна 0,49 Н, можем записать уравнение:
0,49 Н + 800 г/м3 * (S * h - S * h_воздуха) = 0,49 Н (1)
Теперь приступим к нахождению глубины погружения Н стакана в нижнюю жидкость. Эта глубина будет равна высоте воздуха внутри стакана h_воздуха. Мы знаем, что этот воздух оказывает некую дополнительную поддерживающую силу, поэтому можем пренебречь его весом.
Подставляя h_воздуха = h - Н в уравнение (1), получим:
0,49 Н + 800 г/м3 * (S * h - S * (h - Н)) = 0,49 Н
Теперь решим полученное уравнение относительно Н.
0,49 Н + 800 г/м3 * S * h - 800 г/м3 * S * (h - Н) = 0,49 Н
Раскроем скобки:
0,49 Н + 800 г/м3 * S * h - 800 г/м3 * S * h + 800 г/м3 * S * Н = 0,49 Н
Сократим одинаковые члены слева и справа:
800 г/м3 * S * Н = 0
Раскроем скобки и сократим единицы измерения:
800 г * 3 * 10^(-3) м2 * Н = 0
Мы получили, что левая часть равенства равна нулю. Это значит, что глубина погружения Н стакана в нижнюю жидкость равна нулю. То есть, стакан плавает полностью на границе раздела двух жидкостей и его дно не касается нижней жидкости.
Итак, ответ на вопрос задачи: глубина погружения Н стакана в нижнюю жидкость равна нулю.