Ученик весом 20 кг качается на качелях. Максимальный наклон качели от равновесного состояния 1м. В течение 1 мин качели совершают 15 колебательных движений. Найдите кинетическую и потенциальную энергию за 1/12 части периода колебания. Решите с условием.

Объяснение:

Дано:

m = 20 кг

A = 1 м

t = 1 мин = 60 c

n = 15

τ = T / 12

Eп - ?

Eк - ?

Пусть уравнение колебаний :

x = A·cos (ω·t)

Период колебаний:

T = t/n = 60 / 15 = 4 с

Циклическая частота:

ω = 2π / T = 2π / 4 = π / 2  с⁻¹

Тогда:

x = A·cos ((π/2)·t)

Находим фазу колебаний в момент времени

t = τ = (1/12)·T = 4 / 12 = 1/3 с

π·t / 2 = π·1 / (3·2) = π/6

sin (π/6) = 1/2 = 0,5  рад

cos (π/6) = √(3) / 2 ≈ 0,866 рад

Тогда:

x(τ) = A·cos (π/6) = 1·0,866 = 0,866 м

Потенциальная энергия:

Eп = m·g·x = 20·10·0,866 ≈ 170 Дж

Далее.

Скорость - первая производная от координаты:

V = x' = ω·A·sin (ω·t)

V(τ) = (π/2)·1·0,5 ≈ 0,8 м/с

Кинетическая энергия:

Eк = m·V² / 2 = 20·0,8²/2 ≈ 6,4 Дж