Уравнения прямолинейного движения точек заданы в виде s1 = 4t2 + t и s2 = 5t3 + t2 (расстояние – в метрах, время – в секундах). в какой момент времени скорости точек будут равны? определить ускорения точек в этот момент времени.
Уравнение для скорости:V(t) = x'(t) = 0,8tГрафик в координатах V и t представляет собой прямую линию, проведенную из начала координат и проходящий через точку (4 с; 3,2 м/с).В точке t = 4 провести пунктиром перпендикуляр до прямой V = 0,8t и заштриховать полученный треугольник и его площадь:S = (1/2)*4*3,2 = 6,4 м.
Для начала, нам даны уравнения прямолинейного движения точек s1 = 4t^2 + t и s2 = 5t^3 + t^2, где s1 и s2 - расстояние, пройденное точками, а t - время.
Чтобы определить момент времени, когда скорости точек будут равны, нам необходимо приравнять скорости этих точек. Скорость - это производная по времени от функции расстояния по времени.
Обозначим скорости точек как v1 и v2 для точек 1 и 2 соответственно.
v1 = ds1/dt = d(4t^2 + t)/dt
v2 = ds2/dt = d(5t^3 + t^2)/dt
Продифференцируем сначала функцию s1:
v1 = 8t + 1
Теперь продифференцируем функцию s2:
v2 = 15t^2 + 2t
Для того, чтобы движение точек было равномерным и их скорости были равны, необходимо приравнять выражения для v1 и v2:
8t + 1 = 15t^2 + 2t
Собрав все слагаемые на одной стороне и приравняв нулю, получим квадратное уравнение:
15t^2 - 6t - 1 = 0
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта и далее найдем значения времени, которые удовлетворяют данному условию.
Значение дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*15*(-1) = 36 + 60 = 96
Так как значение дискриминанта больше нуля, у уравнения есть два действительных корня.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
t1,2 = (-b ± √D) / 2a
где a = 15, b = -6, c = -1
Таким образом, найдены два значения времени, при которых скорости точек будут равны.
Для определения ускорений точек в этот момент времени необходимо подставить значения t1 и t2 в уравнения ускорения точек.
Для точки 1:
a1 = d^2s1 / dt^2 = d(8t + 1) / dt = 8
Для точки 2:
a2 = d^2s2 / dt^2 = d(15t^2 + 2t) / dt = 30t + 2
Таким образом, скорости точек будут равны при моментах времени t1 = (6 + √96) / 30 и t2 = (6 - √96) / 30, а ускорения точек в эти моменты времени будут a1 = 8 и a2 = 30t + 2.
Надеюсь, ответ был понятен и подробен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!
Для начала, нам даны уравнения прямолинейного движения точек s1 = 4t^2 + t и s2 = 5t^3 + t^2, где s1 и s2 - расстояние, пройденное точками, а t - время.
Чтобы определить момент времени, когда скорости точек будут равны, нам необходимо приравнять скорости этих точек. Скорость - это производная по времени от функции расстояния по времени.
Обозначим скорости точек как v1 и v2 для точек 1 и 2 соответственно.
v1 = ds1/dt = d(4t^2 + t)/dt
v2 = ds2/dt = d(5t^3 + t^2)/dt
Продифференцируем сначала функцию s1:
v1 = 8t + 1
Теперь продифференцируем функцию s2:
v2 = 15t^2 + 2t
Для того, чтобы движение точек было равномерным и их скорости были равны, необходимо приравнять выражения для v1 и v2:
8t + 1 = 15t^2 + 2t
Собрав все слагаемые на одной стороне и приравняв нулю, получим квадратное уравнение:
15t^2 - 6t - 1 = 0
Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта и далее найдем значения времени, которые удовлетворяют данному условию.
Значение дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*15*(-1) = 36 + 60 = 96
Так как значение дискриминанта больше нуля, у уравнения есть два действительных корня.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:
t1,2 = (-b ± √D) / 2a
где a = 15, b = -6, c = -1
t1 = (-(-6) + √96) / (2*15) = (6 + √96) / 30
t2 = (-(-6) - √96) / (2*15) = (6 - √96) / 30
Таким образом, найдены два значения времени, при которых скорости точек будут равны.
Для определения ускорений точек в этот момент времени необходимо подставить значения t1 и t2 в уравнения ускорения точек.
Для точки 1:
a1 = d^2s1 / dt^2 = d(8t + 1) / dt = 8
Для точки 2:
a2 = d^2s2 / dt^2 = d(15t^2 + 2t) / dt = 30t + 2
Таким образом, скорости точек будут равны при моментах времени t1 = (6 + √96) / 30 и t2 = (6 - √96) / 30, а ускорения точек в эти моменты времени будут a1 = 8 и a2 = 30t + 2.
Надеюсь, ответ был понятен и подробен для вас. Если у вас возникнут еще вопросы, буду рад помочь!