В одном из ядерных экспериментов протон с энергией 600 кэВ движется в однородном магнитном поле по круговой траектории. Какой энергией должен обладать ион дейтерия, чтобы он мог двигаться в этом поле по той же траектории? Релятивистский эффект не учитывать.
F = q(v x B),
где F - сила Лоренца (которая направлена перпендикулярно скорости и магнитному полю),
q - заряд частицы (в данном случае заряд протона),
v - скорость частицы,
B - индукция магнитного поля.
Так как протон движется по круговой траектории, его радиус можно найти, используя центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение определяется как:
a = v^2 / r,
где a - центростремительное ускорение,
v - скорость частицы,
r - радиус траектории.
Из равенства сил Лоренца и центростремительного ускорения, получаем:
q(v x B) = mv^2 / r,
где m - масса протона.
Учитывая, что (v x B) - это поперечное произведение векторов, его модуль можно определить как:
|v x B| = vB sin(θ),
где θ - угол между векторами v и B.
Теперь мы можем переписать предыдущее равенство:
q v B sin(θ) = m v^2 / r.
Из этого равенства можно выразить радиус траектории:
r = m v sin(θ) / (q B).
Теперь рассмотрим ион дейтерия, состоящего из протона и нейтрона. Заряд дейтерия равен заряду протона, то есть q (дейтерия) = q (протона). Масса дейтерия составляется из массы протона и массы нейтрона, то есть m (дейтерия) = m (протона) + m (нейтрона).
Мы хотим, чтобы ион дейтерия двигался по той же траектории, что и протон. Из этого условия следует, что радиус траектории для иона дейтерия должен быть таким же, как и для протона. Следовательно,
r (дейтерия) = r (протона).
Подставляя выражения для радиусов из ранее полученных формул, получаем:
m (дейтерия) v (дейтерия) sin(θ) / (q (дейтерия) B) = m (протона) v (протона) sin(θ) / (q (протона) B).
Сокращаем общие множители и получаем:
(m (протона) + m (нейтрона)) v (дейтерия) / (q (протона)) = m (протона) v (протона) / (q (протона)).
Сокращаем q (протона) и m (протона) и получаем:
(m (протона) + m (нейтрона)) v (дейтерия) = m (протона) v (протона).
Теперь мы можем решить это уравнение относительно энергии дейтерия. Вспомним, что кинетическая энергия частицы выражается как:
K = (1/2) m v^2.
Подставляя это в последнее уравнение, получаем:
(1/2) (m (протона) + m (нейтрона)) v^2 (дейтерия) = (1/2) m (протона) v^2 (протона),
или
(m (протона) + m (нейтрона)) v^2 (дейтерия) = m (протона) v^2 (протона).
Сокращаем общие множители и получаем:
v^2 (дейтерия) = (m (протона) / (m (протона) + m (нейтрона))) v^2 (протона).
Полученное выражение показывает, что квадрат скорости дейтерия должен быть таким же, как и квадрат скорости протона. Поскольку кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, это означает, что энергия дейтерия должна быть такой же, как и энергия протона.
Таким образом, энергия дейтерия должна быть равной 600 кэВ, чтобы он мог двигаться в однородном магнитном поле по той же траектории, что и протон.