Вариант 1
1.Мячик массой 300 г падает на землю с высоты 30 см. Какую работу он совершает?
2. Кран, работающий на стройке за 100 минут совершил работу 10 кДж. Какую мощность он развил?
3.Тягач перемещает сани со скоростью 3,6 км/ч и развивает тяговое усилие 5 кН. Какую работу совершил трактор за 20 минут?
4.Человек поднял груз на высоту 1,5 м, совершив при этом работу 5 кДж. Какова масса груза?
5.Определите, на какую высоту можно поднять груз массой 200 г, если совершить работу в 2 кДж.
6. На левой стороне рычага находится груз массой 1 кг. На правой стороне рычага находится груз массой 2 кг. Найти плечо левого груза, если плечо правого груза 20 см.
Введем обозначения: – внешняя сила, действующая на i-ю точку, – сила действия со стороны k-й точки на i-ю.
Рис. 6.1 Запишем основное уравнение динамики для точки (см. п. 3.6):Умножим обе части этого уравнения векторно на :Знак производной можно вынести за знак векторного произведения (и знак суммы тоже), тогда Векторное произведение вектора точки на её импульс называется моментом импульса (количества движения) этой точки относительно точки О. . (6.1.1) Эти три вектора образуют правую тройку векторов, связанных «правилом буравчика» (рис. 6.2).
Рис. 6.2 Векторное произведение , проведенного в точку приложения силы, на эту силу, называется моментом силы : . (6.1.2) Обозначим Li – плечо силы Fi, (рис. 6.3).
Учитывая тригонометрическое тождество, получаем . (6.1.3)
Рис. 6.3C учетом новых обозначений: . (6.1.4) Запишем систему n уравнений для всех точек системы и сложим их левые и правые части:Здесь сумма производных равна производной суммы:где – момент импульса системы, – результирующий момент всех внешних сил относительно точки О.
Так как, то Отсюда получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела, вращающегося вокруг точки. . (6.1.5) Момент импульса системы является основной динамической характеристикой вращающегося тела.
Сравнивая это уравнение с основным уравнением динамики поступательного движения (3.6.1), мы видим их внешнее сходство.
В системе двух тел «кузнечик + соломинка» сохраняется горизонтальная проекция суммарного импульса, откуда следует, что в неподвижной системе отсчета справедливо равенство:
Mvocosα = Mu,
где m и М − массы кузнечика и соломинки, u — скорость соломинки.
Отсюда
u = mvocosα/М.
Время to, которое кузнечик проводит в полете, легко найти из уравнений кинематики как для тела, подброшенного вверх со скоростью vosinα
to = 2vosinα/g.
За это время перемещение соломинки влево и горизонтальное перемещение кузнечика вправо примут следующие значения (см. рисунок):
Sc = uto = (2vo2/g)·(m/M)·sinαcosα, Sк = votocosα = (2vo2/g)sinαcosα.
Для того, чтобы кузнечик при приземлении попал точно на правый конец соломинки, эти величины должны быть связаны соотношением:
Sc + Sк = l.
Объединяя записанные равенства и учитывая, что m/М = β, находим величину начальной скорости кузнечика:
vo = √{gl/(sin2α × (1 + β))}.
Эта величина минимальна при sin2α = 1, т.е. при α = 45°.
Таким образом, ответ имеет вид:
vo = √{gl/(1 + β)} = 1,1 м/с.