Владимир заинтересовался, как работает заряд для салюта. В научно-популярной статье в интернете было написано, что заряд взлетает вверх за счёт взрыва специального вещества
в патроне. Также Владимир узнал, что стандартный заряд весит 1 кг и взлетает на высоту
120 м. В той же статье было написано, что энергию, выделяющуюся при взрыве, принято
измерять в тротиловом эквиваленте. Если говорят, что энергия составляет 1 грамм
в тротиловом эквиваленте, то это означает, что выделилась энергия 4184 Дж. Ускорение
свободного падения 10 Н/кг. Сопротивлением воздуха при проведении расчётов можно
пренебречь.
1) Рассчитайте энергию, которая выделяется при взрыве вещества в патроне, и выразите её
в тротиловом эквиваленте, Считайте, что на подъём заряда расходуется вся выделившаяся
при взрыве энергия.
2) Рассчитайте скорость заряда вблизи земли.
3) Так как количество взрывчатого вещества в разных патронах немного различается, то
скорость вылета заряда может быть больше расчётной на 5 %. Чему при этом будет равна
высота подъёма?
Решение:​

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции {\displaystyle (1+x)^{r}} (1+x)^r в ряд Тейлора:

{\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}} (1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k,

где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

{\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}} {\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}}

При этом ряд

{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...} (1+z)^\alpha=1+\alpha{}z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}z^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}z^n+

сходится при {\displaystyle |z|\leq 1} |z|\le 1.

В частности, при {\displaystyle z={\frac {1}{m}}} z=\frac{1}{m} и {\displaystyle \alpha =x\cdot m} \alpha=x\cdot m получается тождество

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{xm}=1+x+\frac{xm(xm-1)}{2\; m^2}+...+\frac{xm(xm-1)\cdots(xm-n+1)}{n!\; m^n}+\dots.

Переходя к пределу при {\displaystyle m\to \infty } m\to\infty и используя второй замечательный предел {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e} \lim_{m\to\infty}{\left(1+\frac{1}{m}\right)^{m}}=e, выводим тождество

{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,} e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots,

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Резисторы R2 и R3 соединены параллельно. Их сопротивление, учитывая равенство R2 = R3, равно:

R23 = 1/(1/R2 + 1/R3) = 1/(1/R2 + 1/R2) = 1/(2/R2) = R2/2 = 6/2 = 3 Ом.

Резисторы R1 и R23 соединены последовательно, общее сопротивление цепи равно:

R1 + R23 = 6 + 3 = 9 Ом

Сила тока в цепи:

I = U/R123 = 9/9 = 1 A

Так как все резисторы одинаковы, то в разветвлённом участке будет протекать ток с силой тока вдвое меньшей, чем до разветвления:

I2 = I3 = I/2 = 1/2 = 0,5 A

Можно проверить. Сила тока при последовательном соединении одинакова в любой точке цепи. Тогда напряжение на разветвлённом участке цепи равно:

U23 = I*R23 = 1*3 = 3 В

Напряжение при параллельном соединении одинаково на обоих резисторах, тогда сила тока в R3:

U23 = U2 = U3

I3 = U3/R3 = 3/6 = 1/2 = 0,5 A

ответ: 0,5 А.