Однако можно допустить, что во время удара, ракетка «рвётся» и мячик проходит сквозь неё как сквозь марлю.
В случае если бы прорывание ракетки было абсолютным, т.е. в ракетке с самого начала было бы отверстие, то изменение кин. энергии ракетки было бы равно нулю (β=–1).
Если бы рвущаяся ракетка догоняла бы мячик, то потеря энергии ракетки, при этом, лежала бы в диапазоне: 0–0.189 Дж, что нас не устраивает.
А вот если бы рвущаяся ракетка шла навстречу мячику, то потеря энергии ракетки, при этом, лежала бы в : 0–0.733 Дж, что нас КАК РАЗ ПОЛНОСТЬЮ устраивает.
Чтобы всё было логично со знаками, сделаем переопределения:
M, Vo и V – масса и скорости ракетки до и после прорыва в ЛСО: они направлены вправо;
m, vo и v – масса и скорости мячика до и после прорыва в ЛСО: мячик летит на ракетку влево, и после того, как он прорывает её – он продолжает лететь влево.
Если у v – окажется отрицательное значение, то это просто скажет о том, что мячик с некоторой небольшой скоростью, но всё-таки полетит вслед за ракеткой вправо после прорыва.
u – скорость центра масс системы, которая не меняется;
V1 и V2 – скорости ракетки до и после прорыва в СЦМ: ракетка всё время движется вправо, после прорыва – её скорость падает;
v1 и v2 – скорости мячика до и после прорыва в СЦМ: мячик всё время летит влево на ракетку, после прорыва – его скорость падает;
Общий импульс: MVo – mvo ;
Центр масс движется со скоростью u, для которой верно, что: (M+m)u = MVo – mvo ;
u = [ MVo – mvo ]/[M+m] ;
При переходах из ЛСО в СЦМ, получаем:
V1 = Vo – u = Vo – [ MVo – mvo ]/[M+m] = m(Vo+vo)/[M+m] ;
До прорыва по закону сохр. имп. в СЦМ: MV1 = mv1 ;
v1 = [M/m] V1 ;
После прорыва с частичной потерей энергии:
MV2 = mv2 ;
v2 = [M/m] V2 ;
Т.е.: v2/v1 = V2/V1 = β , т.е. обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² – коэфф. потери энергии при прорыве ракетки ) :
0 < β < 1 ;
В СЦМ при отсутствии взаимодействия (мячик проходит в отверстие) – скорости просто сохранились бы, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. Но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся, сохранив направления:
(будет направлена вправо, отставая от порванной ракетки) ;
О скорости ракетки:
∆Eк = Eкo – Eк ;
∆Eк = MVo²/2 – MV²/2 ;
V² = Vo² – 2∆Eк/M ;
V = √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ≈ √[ 25 – 1/0.4 ] ≈ 1.5 √10 ≈ 4.74 м/с (правильно, прорванная ракетка будет обгонять, только что прорвавший её и летящий позади мячик).
***
Если же составители задачи надеялись, что нужно просто посчитать изменение скорости и импульса ракетки через изменение её энергии, а потом потерянный ею импульс прибавить к импульсу мячика, то они ошиблись, поскольку тогда из ниоткуда взялась бы энергия:
Посмотрим:
V = √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ;
∆p = M(Vo–V) = M ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) = m∆v ;
∆v = [M/m] ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) ;
v = vo + ∆v = vo + [M/m] ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) ;
∆Eк = m/2 (v²–vo²) ≈ 0.01 (8.13²–3²) ≈ 0.57 Дж, что невозможно, поскольку энергия ракетки уменьшается по условию только на 0.5 Дж, а предполагается использование законов сохранения, т.е. ракетка рассматривается, как бы на мгновение удара – оторвавшейся от руки отбивающего.
Можно, конечно «догадаться», что изменение скорости налетающего мяча нужно считать в сторону вычитания, а не в сторону сложения, вот только откуда понять, что мяч налетает на ракетку и что он её порвёт, а не отскочит – ну совершенно непонятно без глубокого анализа.
ОТВЕТ: скорость мяча : v ≈ 2.13 м/c , при этом он прорвёт ракетку и будет лететь в ту же сторону, что и ракетка, постепенно отставая от неё (скорость ракетки 4.74 м/с после прорыва).
M, Vo и V – масса и скорости ракетки до и после удара в ЛСО, для определённости они направлены вправо;
m, vo и v – масса и скорости мячика до и после удара в ЛСО, для определённости: мячик всегда летит от ракетки вправо, вначале небыстро, а потом – быстрее;
Для учёта встречного к ракетке движения мячика, в качестве альтернативного условия – будем использовать знак минус перед vo.
u – скорость центра масс системы, которая не меняется, она, очевидно, направлена вправо (масса и скорость ракетки больше массы и скорости мячика);
V1 и V2 – скорости ракетки до и после удара в СЦМ, для определённости: сначала ракетка летит вправо на мячик, а после удара – влево от мячика;
v1 и v2 – скорости мячика до и после удара в СЦМ, для определённости: сначала мячик летит влево на ракетку, а после удара – вправо от ракетки;
Общий импульс системы: MVo + mvo ;
Центр масс движется со скоростью u, для которой из соображений общего импульса верно, что: (M+m)u = MVo + mvo ;
u = [ MVo + mvo ]/[M+m] ;
При переходах из ЛСО в СЦМ, получаем:
V1 = Vo – u = Vo – [ MVo + mvo ]/[M+m] = m(Vo–vo)/[M+m] ;
До удара по закону сохранения импульса в СЦМ: MV1 = mv1 ;
v1 = [M/m] V1 ;
После реального удара с частичной потерей энергии:
MV2 = mv2 ;
v2 = [M/m] V2 ;
Т.е.: v2/v1 = V2/V1 = β , или проще говоря, обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² –коэффициент потери энергии ) :
0 < β < 1 ;
В СЦМ после абсолютно упругого удара скорости просто бы развернулись (считаем удар лобовым), сохранившись по модулю, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. Но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся:
V2 = βV1 ;
V = u–V2 = u–βV1 ;
Потеря энергии ракетки:
∆Eк = [M/2] ( Vo² – V² ) = [M/2] ( Vo² – ( u – βV1 )² ) – квадратичная функция относительно β. Найдём экстремум:
Так что вариант, когда мячик сначала летит влево на ракетку, а потом после удара вправо от ракетки – тоже невозможен со значением в потере энергии в 0.5 Дж ! :–)
У нелепой задачи нет нормального решения :–)
*** отметьте это решение лучшим, чтобы сохранялась последовательность в рассуждениях.
В случае если бы прорывание ракетки было абсолютным, т.е. в ракетке с самого начала было бы отверстие, то изменение кин. энергии ракетки было бы равно нулю (β=–1).
Если бы рвущаяся ракетка догоняла бы мячик, то потеря энергии ракетки, при этом, лежала бы в диапазоне: 0–0.189 Дж, что нас не устраивает.
А вот если бы рвущаяся ракетка шла навстречу мячику, то потеря энергии ракетки, при этом, лежала бы в : 0–0.733 Дж, что нас КАК РАЗ ПОЛНОСТЬЮ устраивает.
Чтобы всё было логично со знаками, сделаем переопределения:
M, Vo и V – масса и скорости ракетки до и после прорыва в ЛСО: они направлены вправо;
m, vo и v – масса и скорости мячика до и после прорыва в ЛСО: мячик летит на ракетку влево, и после того, как он прорывает её – он продолжает лететь влево.
Если у v – окажется отрицательное значение, то это просто скажет о том, что мячик с некоторой небольшой скоростью, но всё-таки полетит вслед за ракеткой вправо после прорыва.
u – скорость центра масс системы, которая не меняется;
V1 и V2 – скорости ракетки до и после прорыва в СЦМ: ракетка всё время движется вправо, после прорыва – её скорость падает;
v1 и v2 – скорости мячика до и после прорыва в СЦМ: мячик всё время летит влево на ракетку, после прорыва – его скорость падает;
Общий импульс: MVo – mvo ;
Центр масс движется со скоростью u, для которой верно, что: (M+m)u = MVo – mvo ;
u = [ MVo – mvo ]/[M+m] ;
При переходах из ЛСО в СЦМ, получаем:
V1 = Vo – u = Vo – [ MVo – mvo ]/[M+m] = m(Vo+vo)/[M+m] ;
До прорыва по закону сохр. имп. в СЦМ: MV1 = mv1 ;
v1 = [M/m] V1 ;
После прорыва с частичной потерей энергии:
MV2 = mv2 ;
v2 = [M/m] V2 ;
Т.е.: v2/v1 = V2/V1 = β , т.е. обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² – коэфф. потери энергии при прорыве ракетки ) :
0 < β < 1 ;
В СЦМ при отсутствии взаимодействия (мячик проходит в отверстие) – скорости просто сохранились бы, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. Но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся, сохранив направления:
V2 = βV1 ;
V = u+V2 = u+βV1 ;
Потеря энергии ракетки:
∆Eк = [M/2] ( Vo² – V² ) = [M/2] ( Vo² – ( u+βV1 )² ) ;
2∆Eк/M = Vo² – ( u+βV1 )² ;
V1² β² + 2uV1 β – ( Vo² – u² – 2∆Eк/M ) = 0 ;
V1 β² + 2u β – ( Vo² – u² – 2∆Eк/M )/V1 = 0 ;
D = u² + Vo² – u² – 2∆Eк/M = Vo² – 2∆Eк/M
β = ( –u ± √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) / V1 = [ √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – u ] / V1 ;
β = √[ Vo² – 2∆Eк/M ] / V1 – u/V1 =
= [1+M/m]/[Vo+vo] √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – [ MVo/mvo – 1 ] / [ Vo/vo + 1 ] =
= [1+M/m] √[ 1/(1+vo/Vo)² – 2∆Eк/[M(Vo+vo)²] ] – [ MVo/mvo – 1 ] / [ Vo/vo + 1 ] ;
β ≈ 21 √[ 1/(1+3/5)² – 1/[0.4*64] ] – [ 2/0.06 – 1 ] / [ 5/3 + 1 ] ≈
≈ 63/16 √10 – 12.125 ≈ 0.326 ;
всё в порядке! вариант прорыва возможен, поскольку: 0 < β < 1 ;
v2 = βv1 = ( √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – u ) v1/V1 = ( √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – u ) M/m ;
v = v2 – u = ( √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – u ) M/m – u =
= [M/m] √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – u(M+m)/m =
= [M/m] √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – [MVo–mvo]/m =
= vo + [M/m] ( √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – Vo ) ;
v = vo + [M/m] ( √[ Vo² – 2∆Eк/M ] – Vo) ≈ 3 + 20 ( √[ 25 – 1/0.4 ] – 5 ) ≈
≈ 3 + 20 ( 1.5 √10 – 5 ) ≈ 3 + 30 √10 – 100 ≈ –2.13 м/c ;
(будет направлена вправо, отставая от порванной ракетки) ;
О скорости ракетки:
∆Eк = Eкo – Eк ;
∆Eк = MVo²/2 – MV²/2 ;
V² = Vo² – 2∆Eк/M ;
V = √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ≈ √[ 25 – 1/0.4 ] ≈ 1.5 √10 ≈ 4.74 м/с (правильно, прорванная ракетка будет обгонять, только что прорвавший её и летящий позади мячик).
***
Если же составители задачи надеялись, что нужно просто посчитать изменение скорости и импульса ракетки через изменение её энергии, а потом потерянный ею импульс прибавить к импульсу мячика, то они ошиблись, поскольку тогда из ниоткуда взялась бы энергия:
Посмотрим:
V = √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ;
∆p = M(Vo–V) = M ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) = m∆v ;
∆v = [M/m] ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) ;
v = vo + ∆v = vo + [M/m] ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) ;
v = vo + [M/m] ( Vo – √[ Vo² – 2∆Eк/M ] ) ≈
≈ 3 + 20 ( 5 – √[ 25 – 1/0.4 ] ) ≈ 3 + 20 ( 5 – 1.5√10 ) ≈ 103 – 30√10 ≈ 8.13 м/с.
При этом энергия мячика возрастает:
∆Eк = m/2 (v²–vo²) ≈ 0.01 (8.13²–3²) ≈ 0.57 Дж, что невозможно, поскольку энергия ракетки уменьшается по условию только на 0.5 Дж, а предполагается использование законов сохранения, т.е. ракетка рассматривается, как бы на мгновение удара – оторвавшейся от руки отбивающего.
Можно, конечно «догадаться», что изменение скорости налетающего мяча нужно считать в сторону вычитания, а не в сторону сложения, вот только откуда понять, что мяч налетает на ракетку и что он её порвёт, а не отскочит – ну совершенно непонятно без глубокого анализа.
ОТВЕТ: скорость мяча : v ≈ 2.13 м/c , при этом он прорвёт ракетку и будет лететь в ту же сторону, что и ракетка, постепенно отставая от неё (скорость ракетки 4.74 м/с после прорыва).
M, Vo и V – масса и скорости ракетки до и после удара в ЛСО, для определённости они направлены вправо;
m, vo и v – масса и скорости мячика до и после удара в ЛСО, для определённости: мячик всегда летит от ракетки вправо, вначале небыстро, а потом – быстрее;
Для учёта встречного к ракетке движения мячика, в качестве альтернативного условия – будем использовать знак минус перед vo.
u – скорость центра масс системы, которая не меняется, она, очевидно, направлена вправо (масса и скорость ракетки больше массы и скорости мячика);
V1 и V2 – скорости ракетки до и после удара в СЦМ, для определённости: сначала ракетка летит вправо на мячик, а после удара – влево от мячика;
v1 и v2 – скорости мячика до и после удара в СЦМ, для определённости: сначала мячик летит влево на ракетку, а после удара – вправо от ракетки;
Общий импульс системы: MVo + mvo ;
Центр масс движется со скоростью u, для которой из соображений общего импульса верно, что: (M+m)u = MVo + mvo ;
u = [ MVo + mvo ]/[M+m] ;
При переходах из ЛСО в СЦМ, получаем:
V1 = Vo – u = Vo – [ MVo + mvo ]/[M+m] = m(Vo–vo)/[M+m] ;
До удара по закону сохранения импульса в СЦМ: MV1 = mv1 ;
v1 = [M/m] V1 ;
После реального удара с частичной потерей энергии:
MV2 = mv2 ;
v2 = [M/m] V2 ;
Т.е.: v2/v1 = V2/V1 = β , или проще говоря, обе скорости уменьшатся одинаково, с некоторым β-коэффициентом ( β² –коэффициент потери энергии ) :
0 < β < 1 ;
В СЦМ после абсолютно упругого удара скорости просто бы развернулись (считаем удар лобовым), сохранившись по модулю, так чтобы импульс по прежнему был бы равен нолю. Но в данном случае, скорости и ракетки и мячика уменьшатся:
V2 = βV1 ;
V = u–V2 = u–βV1 ;
Потеря энергии ракетки:
∆Eк = [M/2] ( Vo² – V² ) = [M/2] ( Vo² – ( u – βV1 )² ) – квадратичная функция относительно β. Найдём экстремум:
( Vo² – ( u – βV1 )² )' = 2( u – βV1 ) V1 = 0 ;
βэкс = u/V1 = [ MVo + mvo ] / [ mVo – mvo ] = [ MVo/[mvo] + 1 ] / [ Vo/vo – 1 ] ;
Если мячик всё время движется направо, то:
βэкс = [ MVo/[mvo] + 1 ] / [ Vo/vo – 1 ] ≈ [ 2/0.06 + 1 ] / [ 5/3 – 1 ] ≈ 51.5 ;
При β=0 : ∆Eк = [M/2] ( Vo² – u² ) = [M/2](Vo–u)(Vo+u) =
= [M/2] V1 ( Vo + [ M Vo + m vo ]/[M+m] ) =
= [M/2] m(Vo–vo)/[M+m] ( 2MVo + m(Vo+vo) )/[M+m] =
= ( MVo + m(Vo+vo)/2 ) Mm(Vo–vo)/(M+m)² ;
При β=1 : ∆Eк = [M/2] ( Vo² – ( 2u – Vo )² ) = 2uM ( Vo – u ) = 2Mu V1 =
= 2 ( MVo + mvo ) mM(Vo–vo)/(M+m)² ;
При β=0 : ∆Eo = ( MVo + m(Vo+vo)/2 ) mM(Vo–vo)/(M+m)² ≈
≈ ( 2 + 0.02*4 )*0.008*2/0.42² ≈ 416/2205 ≈ 0.189 Дж ;
При β=1 : ∆E1 = 2 ( MVo + mvo ) mM(Vo–vo)/(M+m)² ≈
≈ 2 ( 2 + 0.06 )*0.008*2/0.42² ≈ 824/2205 ≈ 0.374 Дж ;
Так что вариант, когда мячик всё время движется вперёд с разгоном после удара – невозможен с потерей энергии ракетки в 0.5 Дж.
Если мячик сначала движется налево, а после удара – направо, то:
βэкс = [ MVo/[–mvo] + 1 ] / [ Vo/[–vo] – 1 ] ≈ [ –2/0.06 + 1 ] / [ –5/3 – 1 ] ≈ 12.125 ;
При β=0 : ∆Eo = ( MVo + m(Vo–vo)/2 ) mM(Vo+vo)/(M+m)² ≈
≈ ( 2 + 0.02 )*0.008*8/0.42² ≈ 1616/2205 ≈ 0.733 Дж ;
При β=1 : ∆E1 = 2 ( MVo – mvo ) mM(Vo+vo)/(M+m)² ≈
≈ 2 ( 2 – 0.06 )*0.008*8/0.42² ≈ 3104/2205 ≈ 1.41 Дж ;
Так что вариант, когда мячик сначала летит влево на ракетку, а потом после удара вправо от ракетки – тоже невозможен со значением в потере энергии в 0.5 Дж ! :–)
У нелепой задачи нет нормального решения :–)
*** отметьте это решение лучшим, чтобы сохранялась последовательность в рассуждениях.