Дано: Н L Найти: v₀, α Решение: Движение по оси у равноускоренное. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна 0. Формула скорости в этом случае принимает вид 0=v₀sinα-gt₁ Находим время подъема до высшей точки t₁=v₀sinα/g Теперь воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении s=(v₂²-v₁²)/(2a) При рассмотрении движения до верхней точки, эта формула принимает вид H=-(v₀sinα)²/(2g) (поскольку знак минус говорит о направлении, то мы в дальнейшем можем его не учитывать) Перейдем к горизонтальному движению. Это равномерное движении. Поэтому L=v₀cosα·t₂ Время полета t₂ в два раза больше времени подъема до верхней точки t₂=2t₁=2v₀sinα/g Следовательно L=v₀cosα·2v₀sinα/g=2v₀²sinα·cosα/g Итого имеем два уравнения с двумя неизвестными. {H=v₀²sin²α/(2g) {L=2v₀²sinα·cosα/g Разделим второе на первое L/H=4cosα/sinα sinα/cosα=4H/L tgα=4H/L α=arctg(4H/L) Зная одно неизвестное, легко найти второе. Например, из второго уравнения L=2v₀²sinα·cosα/g=v₀²sin2α/g v₀²=gL/sin2α=gL/sin(2arctg(4H/L)) v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L))) ответ: α=arctg(4H/L); v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))
Горизонтальная компонента силы, необходимая для сдвига саней, равна силе трения Максимальная горизонтальная сила, которую может приложить человек, равна опять-таки силе его трения со льдом
Заметим, что 18g < 20g, поэтому, если тянуть веревку горизонтально, ничего не выйдет. Но можно тянуть под углом, тогда, не смотря на то, что горизонтальная компонента силы тяги уменьшится, но изменятся силы реакции опоры.
Рассмотрим предельный случай, когда сила тяги сравняется с силой трения между санями и льдом. Пусть это реализуется при каком-то угле α. Сила реакции для саней станет равна N1 = M1 * g - T sin α Сила реакции, человек: N2 = M2 * g + T sin α Сила тяги Fт = T cos α
Должно выполняться μ1 N1 = Fт μ2 N2 = Fт
Первое уравнение: μ1 * (M1 * g - T sin α) = T cos α T (cos α + μ1 * sin α) = μ1 * M1 * g T = μ1 * M1 / (cos α + μ1 * sin α)
Подставляем T во второе уравнение: μ2 * (M2 * g + T sin α) = T cos α μ2 M2 + μ2 sin α * μ1 M1 / (cos α + μ1 sin α) = μ1 M1 cos α / (cos α + μ1 sin α) μ2 M2 cos α + μ1 μ2 M2 sin α + μ1 μ2 M1 sin α = μ1 M1 cos α (μ1 M1 - μ2 M2) cos α = μ1 μ2 (M1 + M2) sin α tg α = (μ1 M1 - μ2 M2) / (μ1 μ2 (M1 + M2)) = 2 / (0.06 * 160) = 2 / 9.6 ~ 0.208 α ~ 11.8 градуса
Н
L
Найти: v₀, α
Решение:
Движение по оси у равноускоренное. В верхней точке вертикальная составляющая скорости равна 0. Формула скорости в этом случае принимает вид
0=v₀sinα-gt₁
Находим время подъема до высшей точки
t₁=v₀sinα/g
Теперь воспользуемся формулой пути при равноускоренном движении
s=(v₂²-v₁²)/(2a)
При рассмотрении движения до верхней точки, эта формула принимает вид
H=-(v₀sinα)²/(2g) (поскольку знак минус говорит о направлении, то мы в дальнейшем можем его не учитывать)
Перейдем к горизонтальному движению. Это равномерное движении. Поэтому
L=v₀cosα·t₂
Время полета t₂ в два раза больше времени подъема до верхней точки
t₂=2t₁=2v₀sinα/g
Следовательно
L=v₀cosα·2v₀sinα/g=2v₀²sinα·cosα/g
Итого имеем два уравнения с двумя неизвестными.
{H=v₀²sin²α/(2g)
{L=2v₀²sinα·cosα/g
Разделим второе на первое
L/H=4cosα/sinα
sinα/cosα=4H/L
tgα=4H/L
α=arctg(4H/L)
Зная одно неизвестное, легко найти второе. Например, из второго уравнения
L=2v₀²sinα·cosα/g=v₀²sin2α/g
v₀²=gL/sin2α=gL/sin(2arctg(4H/L))
v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))
ответ: α=arctg(4H/L); v₀=√(gL/sin(2arctg(4H/L)))
Максимальная горизонтальная сила, которую может приложить человек, равна опять-таки силе его трения со льдом
Заметим, что 18g < 20g, поэтому, если тянуть веревку горизонтально, ничего не выйдет. Но можно тянуть под углом, тогда, не смотря на то, что горизонтальная компонента силы тяги уменьшится, но изменятся силы реакции опоры.
Рассмотрим предельный случай, когда сила тяги сравняется с силой трения между санями и льдом. Пусть это реализуется при каком-то угле α.
Сила реакции для саней станет равна N1 = M1 * g - T sin α
Сила реакции, человек: N2 = M2 * g + T sin α
Сила тяги Fт = T cos α
Должно выполняться
μ1 N1 = Fт
μ2 N2 = Fт
Первое уравнение:
μ1 * (M1 * g - T sin α) = T cos α
T (cos α + μ1 * sin α) = μ1 * M1 * g
T = μ1 * M1 / (cos α + μ1 * sin α)
Подставляем T во второе уравнение:
μ2 * (M2 * g + T sin α) = T cos α
μ2 M2 + μ2 sin α * μ1 M1 / (cos α + μ1 sin α) = μ1 M1 cos α / (cos α + μ1 sin α)
μ2 M2 cos α + μ1 μ2 M2 sin α + μ1 μ2 M1 sin α = μ1 M1 cos α
(μ1 M1 - μ2 M2) cos α = μ1 μ2 (M1 + M2) sin α
tg α = (μ1 M1 - μ2 M2) / (μ1 μ2 (M1 + M2)) = 2 / (0.06 * 160) = 2 / 9.6 ~ 0.208
α ~ 11.8 градуса
ответ. α > 11.8°