Для решения этой задачи мы можем воспользоваться формулой для индукции магнитного поля, создаваемого круговым витком. Эта формула выглядит следующим образом:
B = μ₀ * I * N / (2 * R),
где B - индукция магнитного поля, μ₀ - магнитная постоянная, I - ток в витке, N - количество витков, R - радиус витка.
а) Мы знаем, что у нас два витка равного радиуса с одинаковыми токами. Поэтому нам нужно вычислить индукцию магнитного поля в центре одного витка и удвоить ее. Для этого мы можем использовать формулу и подставить известные значения:
Теперь мы знаем, что индукция магнитного поля в центре одного витка равна 4π * 10⁻⁶ Тл.
б) Для нахождения индукции магнитного поля в центре витков, расположенных в параллельных плоскостях, на расстоянии 20 см друг от друга, мы можем использовать принцип суперпозиции. То есть, мы сначала найдем индукцию магнитного поля от каждого витка по отдельности, а затем просуммируем их.
Раз мы уже знаем индукцию магнитного поля от одного витка, то нам нужно учитывать только индукцию магнитного поля от второго витка. Поэтому мы можем считать, что N = 1 (один виток) и R = 10 см = 0,1 м. Расстояние между плоскостями витков равно 20 см = 0,2 м.
Мы используем ту же формулу:
B₂ = (4π * 10⁻⁷ Тл * м/А) * 6 А * 1 / (2 * 0,1 м + 0,2 м) = (4π * 10⁻⁷ Тл * м/А) * 6 А * 1 / (0,4 м) = 3π * 10⁻⁶ Тл.
Теперь мы знаем, что индукция магнитного поля в центре одного из витков, если плоскости витков расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 20 см друг от друга, равна 3π * 10⁻⁶ Тл.
Чтобы определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией T= 5 MэВ, нам понадобится использовать известную формулу для релятивистского импульса:
p = m * v / √(1 - v^2/c^2),
где:
p - релятивистский импульс,
m - масса электрона,
v - скорость электрона,
c - скорость света в вакууме.
Первым шагом необходимо определить скорость электрона. Мы можем воспользоваться формулой для кинетической энергии:
T = (m * c^2) / (√(1 - v^2/c^2) - 1).
Данные из условия:
T = 5 MэВ = 5 * 10^6 эВ,
c = 3 * 10^8 м/с.
Для удобства вычислений, давайте преобразуем кинетическую энергию в джоули:
1 MэВ = 1 * 10^6 эВ = 1.6 * 10^-13 Дж.
Теперь подставим известные значения в формулу для кинетической энергии и найдем скорость:
B = μ₀ * I * N / (2 * R),
где B - индукция магнитного поля, μ₀ - магнитная постоянная, I - ток в витке, N - количество витков, R - радиус витка.
а) Мы знаем, что у нас два витка равного радиуса с одинаковыми токами. Поэтому нам нужно вычислить индукцию магнитного поля в центре одного витка и удвоить ее. Для этого мы можем использовать формулу и подставить известные значения:
B = μ₀ * I * N / (2 * R),
где μ₀ = 4π * 10⁻⁷ Тл * м/А - магнитная постоянная.
Для нашего случая I = 6 А, R = 10 см = 0,1 м, N = 1 (один виток):
B₁ = (4π * 10⁻⁷ Тл * м/А) * 6 А * 1 / (2 * 0,1 м) = 4π * 10⁻⁶ Тл.
Теперь мы знаем, что индукция магнитного поля в центре одного витка равна 4π * 10⁻⁶ Тл.
б) Для нахождения индукции магнитного поля в центре витков, расположенных в параллельных плоскостях, на расстоянии 20 см друг от друга, мы можем использовать принцип суперпозиции. То есть, мы сначала найдем индукцию магнитного поля от каждого витка по отдельности, а затем просуммируем их.
Раз мы уже знаем индукцию магнитного поля от одного витка, то нам нужно учитывать только индукцию магнитного поля от второго витка. Поэтому мы можем считать, что N = 1 (один виток) и R = 10 см = 0,1 м. Расстояние между плоскостями витков равно 20 см = 0,2 м.
Мы используем ту же формулу:
B₂ = (4π * 10⁻⁷ Тл * м/А) * 6 А * 1 / (2 * 0,1 м + 0,2 м) = (4π * 10⁻⁷ Тл * м/А) * 6 А * 1 / (0,4 м) = 3π * 10⁻⁶ Тл.
Теперь мы знаем, что индукция магнитного поля в центре одного из витков, если плоскости витков расположены в параллельных плоскостях на расстоянии 20 см друг от друга, равна 3π * 10⁻⁶ Тл.
p = m * v / √(1 - v^2/c^2),
где:
p - релятивистский импульс,
m - масса электрона,
v - скорость электрона,
c - скорость света в вакууме.
Первым шагом необходимо определить скорость электрона. Мы можем воспользоваться формулой для кинетической энергии:
T = (m * c^2) / (√(1 - v^2/c^2) - 1).
Данные из условия:
T = 5 MэВ = 5 * 10^6 эВ,
c = 3 * 10^8 м/с.
Для удобства вычислений, давайте преобразуем кинетическую энергию в джоули:
1 MэВ = 1 * 10^6 эВ = 1.6 * 10^-13 Дж.
Теперь подставим известные значения в формулу для кинетической энергии и найдем скорость:
5 * 10^-13 Дж = (9.1 * 10^-31 кг * (3 * 10^8 м/с)^2) / (√(1 - v^2/(3 * 10^8 м/с)^2) - 1).
Далее, решим эту уравнение относительно скорости v.
Упростим формулу:
√(1 - v^2/(3 * 10^8 м/с)^2) - 1 = (9.1 * 10^-31 кг * (3 * 10^8 м/с)^2) / (5 * 10^-13 Дж).
Для удобства расчетов, обозначим (3 * 10^8 м/с)^2 как A и (9.1 * 10^-31 кг) / (5 * 10^-13 Дж) как B:
√(1 - v^2/A) - 1 = B.
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
1 - v^2/A - 2√(1 - v^2/A) + 1 = B^2.
Упростим:
- v^2/A - 2√(1 - v^2/A) = B^2 - 2.
Перепишем в форме:
- v^2/A = 2√(1 - v^2/A) - B^2 + 2.
Разделим обе части на 2:
-v^2/A / 2 = √(1 - v^2/A) - (B^2 - 2) / 2.
Далее, возведем обе части в квадрат:
(v^2/A)^2 / 4 = (1 - v^2/A) - (B^2 - 2) / 2 + 2(v^2/A)(√(1 - v^2/A)).
Заменим (v^2/A)^2 на x:
x / 4 = (1 - v^2/A) - (B^2 - 2) / 2 + 2x(√(1 - v^2/A)).
Продолжаем упрощать:
x / 4 = 1 - v^2/A - (B^2 - 2) / 2 + 2x(√(1 - v^2/A)).
x / 4 = 1 - v^2/A - (2B^2 - 4) / 4 + 2x(√(1 - v^2/A)).
x / 4 = 1 - v^2/A - (2B^2 - 4) / 4 + 2x√(1 - v^2/A).
Перенесем x влево и остальные слагаемые вправо:
x / 2 + (2B^2 - 4) / 4 = 1 - v^2/A + 2x√(1 - v^2/A).
Обозначим (2B^2 - 4) / 4 как C:
x / 2 + C = 1 - v^2/A + 2x√(1 - v^2/A).
Упростим запись:
x / 2 + C = 1 + 2x√(1 - v^2/A) - v^2/A.
Выразим v^2/A слагаемыми в правой части уравнения:
x / 2 + C = 1 + 2x√(1 - v^2/A) - v^2/A + (v^2/A).
Упростим:
x / 2 + C = 1 + 2x√(1 - v^2/A).
Отнимем 1 от обеих частей уравнения:
x / 2 + C - 1 = 2x√(1 - v^2/A).
Возведем обе части уравнения в квадрат:
(x / 2 + C - 1)^2 = (2x√(1 - v^2/A))^2.
Упростим:
(x^2 / 4 + C^2 + 1 - 2Cx + 2C - 2x + xC)^2 = 4x^2 (1 - v^2/A).
(x^2 / 4 + C^2 + 1 - 2Cx + 2C - 2x + xC)^2 = 4x^2 - 4x^2v^2/A.
Раскроем скобки:
x^4 / 16 + C^2 + 1 + 4Cx - 4Cx^2 + 4C - 4x^2 - 4x + 2xC^2 - 2xC = 4x^2 - 4x^2v^2/A.
Упростим:
x^4 / 16 + C^2 + 1 + 4Cx - 4Cx^2 + 4C - 4x^2 - 4x + 2xC^2 - 2xC = 4x^2 - 4x^2v^2/A.
Сгруппируем слагаемые:
x^4 / 16 + C^2 + 1 + 4Cx - 4Cx^2 + 4C - 4x^2 - 4x + 2xC^2 - 2xC - 4x^2 + 4x^2v^2/A = 0.
Обозначим (16 * C^2 + 16 - 4x^2) / 16 как D:
x^4 / 16 + 4Cx - 4Cx^2 + 4C - 4x^2 - 4x + 2xC^2 - 2xC - 4x^2 + 4x^2v^2/A + D = 0.
x^4 / 16 - 4Cx^2 - 4x^2 + 2xC^2 - 2xC + 4x^2v^2/A + 4Cx - 4x + 4C + D = 0.
Выполним замену:
y = x^2.
Тогда:
y^2 / 16 - 4Cy - 4y + 2Cy^2 - 2yC + 4yv^2/A + 4Cx - 4x + 4C + D = 0.
Выделим общие слагаемые:
y^2 / 16 + 2Cy^2 - 4Cy - 4y + 4x(yv^2/A + C) + 4C - 4x + D = 0.
Факторизуем:
(y^2 / 16 + 2Cy^2 - 4Cy - 4y) + 4x(yv^2/A + C) + 4C - 4x + D = 0.
1/16 y^2 + 2Cy (y - 8) + 4x(yv^2/A + C) + 4C - 4x + D = 0.
Теперь, вернемся к изначальной переменной:
1/16 x^2 + 2Cx (x^2 - 8) + 4x(x^2v^2/A + C) + 4C - 4x + D = 0.
Решим полученное квадратное уравнение относительно x. Полученные два значения x будут нашими релятивистскими импульсами.