(Задачник Чертова; 1-28) Движение материальной точки задано уравнением r(t) = i(A+Bt²)+jCt, где A = 10 м, B = -5 м/с², C = 10 м/с. Найти модули тангенциального и нормального ускорений , с подробным объяснением
Начнем с вычисления скорости. Для этого найдем производную от уравнения движения по времени:
dr(t)/dt = i(2Bt) + jC
Теперь у нас есть уравнение скорости. Следующий шаг - найти производную скорости по времени, чтобы вычислить ускорение:
dv(t)/dt = d²r(t)/dt² = i(2B) = 2Bi
Тангенциальное ускорение является проекцией ускорения на направление движения и вычисляется как модуль скорости:
aт = |dv(t)/dt| = |2Bi| = 2B
Теперь найдем модуль нормального ускорения, который является проекцией ускорения на нормальное направление (перпендикулярное направлению движения). Для этого найдем производную скорости по времени, чтобы вычислить вторую проекцию ускорения:
a(t) = ai + aj = 2Bi + 0j
aн = |aj| = |0j| = 0
Таким образом, модуль тангенциального ускорения равен 2B, а модуль нормального ускорения равен 0.
Обоснование:
- Для нахождения уравнений скорости и ускорения использовались соответствующие определения производных.
- Точка движется только по вертикальной оси, поэтому компонента скорости по горизонтальной оси равна нулю.
- Модуль тангенциального ускорения равен модулю второй проекции ускорения и равен 2B.
- Модуль нормального ускорения равен модулю первой проекции ускорения по вертикальной оси и равен 0.
1. Уравнение скорости: v(t) = dr(t)/dt
2. Уравнение ускорения: a(t) = dv(t)/dt
Начнем с вычисления скорости. Для этого найдем производную от уравнения движения по времени:
dr(t)/dt = i(2Bt) + jC
Теперь у нас есть уравнение скорости. Следующий шаг - найти производную скорости по времени, чтобы вычислить ускорение:
dv(t)/dt = d²r(t)/dt² = i(2B) = 2Bi
Тангенциальное ускорение является проекцией ускорения на направление движения и вычисляется как модуль скорости:
aт = |dv(t)/dt| = |2Bi| = 2B
Теперь найдем модуль нормального ускорения, который является проекцией ускорения на нормальное направление (перпендикулярное направлению движения). Для этого найдем производную скорости по времени, чтобы вычислить вторую проекцию ускорения:
a(t) = ai + aj = 2Bi + 0j
aн = |aj| = |0j| = 0
Таким образом, модуль тангенциального ускорения равен 2B, а модуль нормального ускорения равен 0.
Обоснование:
- Для нахождения уравнений скорости и ускорения использовались соответствующие определения производных.
- Точка движется только по вертикальной оси, поэтому компонента скорости по горизонтальной оси равна нулю.
- Модуль тангенциального ускорения равен модулю второй проекции ускорения и равен 2B.
- Модуль нормального ускорения равен модулю первой проекции ускорения по вертикальной оси и равен 0.