1 Сила, с которой Луна притягивается к солнцу, равна: f₁ = Gm2·10³⁰/(1.5·10²·10⁶·10³)² = Gm10³°⁻²²2/1.5² = 0.89Gm·10⁸ Н где G - гравитационная постоянная m - масса Луны Сила, с которой Луна притягивается к Земле, равна: f₂ = Gm6·10²⁴/(3.5·10²·10³·10³)² = Gm10²⁴⁻¹⁶6/3.5² = 0.49Gm·10⁸ Н Как видно, сила, с которой Луна притягивается к солнцу, больше, чем сила, с которой Луна притягивается в Земле. 2 Круговая частота геостационарного спутника равна ω = 2п/T = 2п/24*3600 = 7,27·10⁻⁵ рад с⁻¹ где T - период обращения Земли вокруг своей оси. Из равенства сил на круговой орбите радиусом R следует ω²R = GM/R² откуда R³ = GM/ω² Поскольку g = GM/R'² где g - ускорение свободного падения около поверхности Земли то GM = gR'² R' - радиус Земли R³ = gR'²/ω² откуда R = ∛(gR'²/ω²) = ∛(10*6400000²/(7,27·10⁻⁵)² = 4.264·10⁷ м = 42640 км (не путать с высотой спутника над поверхностью земли, она будет меньше на величину радиуса планеты).
Нормальное g₁ и тангенциальное g₂ ускорения связаны с мгновенным значением угла ф вектора скорости следующими соотношениями: g₁ = gCosф g₂ = gSinф Очевидно, что их равенство достигается при ф = 45° то есть когда вертикальная и горизонтальная составляющие скорости свободно летящего тела оказываются равны друг другу. Таким образом, задача сводится к определению высоты, на которой постоянная величина горизонтальной составляющей скорости v₀₁ = v₀Cosα становится равной вертикальной составляющей скорости v₂, которая во время полёта меняется по величине от v₀₂ = v₀Sinα в момент броска и до v₂ = 0 на максимальной высоте. Можно показать, что в любой момент полёта текущее значение вертикальной составляющей скорости связано с начальным значением вертикальной составляющей скорости и текущей высотой следующим равенством: mv₂²/2 + mgh = mv₀₂²/2 = mv₀²Sin²α/2 или, сокращая m v₂²/2 + gh = v₀²Sin²α/2 При достижении значения v₂ величины горизонтальной составляющей v₀₁ = v₀Cosα вертикальная и горизонтальная составляющая становятся равными друг другу, полный вектор скорости обретает наклон 45° к горизонту и нормальное ускорение становится равным тангенциальному. Подставим эту величину в равенство, связывающее текущее значение высоты с вертикальной составляющей мгновенной скорости: v₀²Cos²α + 2gh = v₀²Sin²α откуда получим выражение для искомой высоты: h = (v₀²Sin²α - v₀²Cos²α)/2g = v₀²(Sin²α - Cos²α)/2g = v₀²(3/4 - 1/4)/2g = v₀²/4g
Сила, с которой Луна притягивается к солнцу, равна:
f₁ = Gm2·10³⁰/(1.5·10²·10⁶·10³)² = Gm10³°⁻²²2/1.5² = 0.89Gm·10⁸ Н где
G - гравитационная постоянная
m - масса Луны
Сила, с которой Луна притягивается к Земле, равна:
f₂ = Gm6·10²⁴/(3.5·10²·10³·10³)² = Gm10²⁴⁻¹⁶6/3.5² = 0.49Gm·10⁸ Н
Как видно, сила, с которой Луна притягивается к солнцу, больше, чем сила, с которой Луна притягивается в Земле.
2
Круговая частота геостационарного спутника равна
ω = 2п/T = 2п/24*3600 = 7,27·10⁻⁵ рад с⁻¹
где T - период обращения Земли вокруг своей оси.
Из равенства сил на круговой орбите радиусом R следует
ω²R = GM/R²
откуда
R³ = GM/ω²
Поскольку
g = GM/R'²
где
g - ускорение свободного падения около поверхности Земли
то
GM = gR'²
R' - радиус Земли
R³ = gR'²/ω²
откуда
R = ∛(gR'²/ω²) = ∛(10*6400000²/(7,27·10⁻⁵)² = 4.264·10⁷ м = 42640 км
(не путать с высотой спутника над поверхностью земли, она будет меньше на величину радиуса планеты).
g₁ = gCosф
g₂ = gSinф
Очевидно, что их равенство достигается при ф = 45°
то есть когда вертикальная и горизонтальная составляющие скорости свободно летящего тела оказываются равны друг другу.
Таким образом, задача сводится к определению высоты, на которой постоянная величина горизонтальной составляющей скорости
v₀₁ = v₀Cosα
становится равной вертикальной составляющей скорости
v₂, которая во время полёта меняется по величине от
v₀₂ = v₀Sinα
в момент броска и до
v₂ = 0
на максимальной высоте.
Можно показать, что в любой момент полёта текущее значение вертикальной составляющей скорости связано с начальным значением вертикальной составляющей скорости и текущей высотой следующим равенством:
mv₂²/2 + mgh = mv₀₂²/2 = mv₀²Sin²α/2
или, сокращая m
v₂²/2 + gh = v₀²Sin²α/2
При достижении значения v₂ величины горизонтальной составляющей
v₀₁ = v₀Cosα
вертикальная и горизонтальная составляющая становятся равными друг другу, полный вектор скорости обретает наклон 45° к горизонту и нормальное ускорение становится равным тангенциальному.
Подставим эту величину в равенство, связывающее текущее значение высоты с вертикальной составляющей мгновенной скорости:
v₀²Cos²α + 2gh = v₀²Sin²α
откуда получим выражение для искомой высоты:
h = (v₀²Sin²α - v₀²Cos²α)/2g = v₀²(Sin²α - Cos²α)/2g = v₀²(3/4 - 1/4)/2g = v₀²/4g
h = v₀²/4g