1. (3б.) При каком значении d векторы МО и СКколлинеарные, если M(3;-4), O(-5:3), C(1; d+1), К(9:-5). 2. (Зб.) В равностороннем треугольнике МОК сторона равна 1. Вычислите МО МК. 3. (6б.) Известны координаты вершин треугольника СРМ: С(1:1), PS:-1), М(7:3). Определите косинус меньшего угла треугольника

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Тогда в треугольнике АОВ:
∠АОВ = 90°, АО = 20 см, ОВ = 15 см. По теореме Пифагора
АВ = √(АО² + ОВ²) = √(400 + 225) = √625 = 25 см

Расстоянием от точки М до сторон АВ и ВС является длина перпендикуляра МВ. 7 см.

Проведем высоты ВК и ВН. Эти отрезки - проекции наклонных МК и МН на плоскость ромба.
ВК ⊥ CD, BH ⊥ AD, ⇒ MK ⊥ CD, MH ⊥ AD по теореме о трех перпендикулярах.
Значит, МК и МН - расстояния до сторон CD и AD.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
∠BDH = ∠BDK, BD - общая гипотенуза для треугольников BDH и BDK, значит ΔBDH = ΔBDK по гипотенузе и острому углу.
Значит, ВК = ВН, тогда и МК = МН (если наклонные, проведенные из одной точки, имеют равные проекции, то они равны).

Sabcd = AD·BH = AC·BD/2
BH = AC·BD/(2AD) = 40·30/50 = 24 см

ΔМВН: по теореме Пифагора
МН = √(МВ² + ВН²) = √(49 + 576) = √625 = 25 см

ответ: Расстояние до сторон АВ и ВС 7 см, до сторон CD и AD 25 см.

1) Пусть прямоугольник АВСD. Точку пересечения диагоналей обозначим О. Пусть АВ=5 см, а угол АОВ равен 60°. Диагонали параллелограмма (а значит и его частного случая - прямоугольника) в точке пересечения делятся пополам. АО=ОС. ВО=ОD. диагонали прямоугольника равны между собой, Значит АО=ОС=ВО=ОD. Треугольник АОВ - равнобедренный, а так как угол угол АОВ равен 60°, то он и равносторонний. Тогда АО=ОВ=АВ=5 см, а АС=ВD=10 см.
2) Если в окружность вписать правильный шестиугольник, то сторона шестиугольника равна радиусу окружности. Если соединить отрезком противоположные вершины шестиугольника то получится диаметр окружности. Сделав то же самое с двумя другими парами противоположных вершин шестиугольника мы тремя диаметрами разобьем шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, каждый из которых образован двумя радиусами и хордой. Видим, что все углы между ЛЮБОЙ хордой и исходящими из ее концов радиусами (а следовательно и диаметрами) равен  60°.
3)  Диагональ BD делит трапецию на два треугольника. Части 6 см и 20 см средней линии трапеции являются средними линиями этих треугольников, параллельными основаниям трапеции. Отсюда, основания трапеции равны 12 и 40 см.