а) Обозначим буквой E точку пересечения отрезков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как накрест лежащие углы; аналогично ∠CLD = ∠ADL, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть треугольники ABL и CLD равнобедренные (AB = BL, CL = CD). Тогда биссектрисы этих треугольников BM и CK являются также высотами и медианами. Значит, точки M и K являются серединами сторон AL и DL соответственно. Отсюда следует, что отрезок MK является средней линией треугольника ALD. Значит, MK || AD.
Теперь если рассмотреть треугольник ABL, получаем, что отрезок EM параллелен стороне BL и исходит из середины стороны AL. Отсюда следует, что EM является средней линией этого треугольника, а значит точка E — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим 4-угольник MLKN. Из предыдущего пункта получили, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, откуда следует, что
То есть у данного 4-угольника суммы противоположных углов дают , откуда следует, что вокруг него можно описать окружность. Соединим точки N и L (пересечение с MK в точке F) — получим 2 прямоугольных треугольника NML и NKL. Тогда центр описанной окружности лежит на середине общей гипотенузы NL.
Теперь заметим, что треугольники MFL и NFK подобны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вертикальные; ∠MLF = ∠NKF, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MN). Тогда
Аналогично треугольники NMF и KFL подобны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вертикальные; ∠MNF = ∠FKL, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ML). Тогда
Поделим соотношения друг на друга:
Из подобия треугольников NLC и NFK (по 3-м углам) получим, что Аналогично из подобия треугольников NLB и NFM получим, что , откуда следует:
Добрый день, я буду выступать в роли вашего школьного учителя и помогу вам решить эту задачу.
Чтобы найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины ромба, нам нужно знать длины его сторон.
По определению ромба, все его стороны равны между собой. Поэтому чтобы найти длину стороны ромба, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как у нас уже известны диагонали ромба.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.
Итак, у нас имеется ромб, в котором диагонали равны 24 см и 36 см. Давайте обозначим их как d1 и d2. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, длины катетов этих треугольников равны половине длин диагоналей. Отсюда, длина катета первого треугольника будет 24/2 = 12 см, а длина катета второго треугольника будет 36/2 = 18 см.
Теперь мы можем применить теорему Пифагора для одного из треугольников. Возьмем первый треугольник с катетами 12 см и 18 см:
12^2 + 18^2 = c^2,
144 + 324 = c^2,
468 = c^2.
Проведя вычисления, получаем, что c^2 = 468. Чтобы найти значение c, возьмем квадратный корень из обоих выражений:
c = √468,
c = 21.6 см (округляем до ближайшего целого числа).
Таким образом, получается, что длина каждой стороны ромба равна 21.6 см.
Чтобы найти периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами ромба, мы можем просто сложить длины всех сторон четырехугольника.
Периметр четырехугольника = 4 * длина стороны = 4 * 21.6 = 86.4 см.
Таким образом, периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины ромба, равен 86.4 см.
ответ:Решение.
а) Обозначим буквой E точку пересечения отрезков MK и AB. Углы ∠ALB и ∠LAD равны, как накрест лежащие углы; аналогично ∠CLD = ∠ADL, как накрест лежащие. Отсюда получаем, что ∠BAL = ∠BLA, ∠CDL = ∠CLD, то есть треугольники ABL и CLD равнобедренные (AB = BL, CL = CD). Тогда биссектрисы этих треугольников BM и CK являются также высотами и медианами. Значит, точки M и K являются серединами сторон AL и DL соответственно. Отсюда следует, что отрезок MK является средней линией треугольника ALD. Значит, MK || AD.
Теперь если рассмотреть треугольник ABL, получаем, что отрезок EM параллелен стороне BL и исходит из середины стороны AL. Отсюда следует, что EM является средней линией этого треугольника, а значит точка E — середина стороны AB. Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим 4-угольник MLKN. Из предыдущего пункта получили, что ∠M = 90°, ∠K = 90°, откуда следует, что
То есть у данного 4-угольника суммы противоположных углов дают , откуда следует, что вокруг него можно описать окружность. Соединим точки N и L (пересечение с MK в точке F) — получим 2 прямоугольных треугольника NML и NKL. Тогда центр описанной окружности лежит на середине общей гипотенузы NL.
Теперь заметим, что треугольники MFL и NFK подобны по 2 углам (∠MFL = ∠NFK, как вертикальные; ∠MLF = ∠NKF, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу MN). Тогда
Аналогично треугольники NMF и KFL подобны по 2 углам (∠NFM = ∠KFL, как вертикальные; ∠MNF = ∠FKL, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ML). Тогда
Поделим соотношения друг на друга:
Из подобия треугольников NLC и NFK (по 3-м углам) получим, что Аналогично из подобия треугольников NLB и NFM получим, что , откуда следует:
Окончательно получаем, что
ответ: 5 : 14.
Объяснение:
Чтобы найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины ромба, нам нужно знать длины его сторон.
По определению ромба, все его стороны равны между собой. Поэтому чтобы найти длину стороны ромба, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как у нас уже известны диагонали ромба.
Теорема Пифагора гласит, что квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин его катетов.
Итак, у нас имеется ромб, в котором диагонали равны 24 см и 36 см. Давайте обозначим их как d1 и d2. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, длины катетов этих треугольников равны половине длин диагоналей. Отсюда, длина катета первого треугольника будет 24/2 = 12 см, а длина катета второго треугольника будет 36/2 = 18 см.
Теперь мы можем применить теорему Пифагора для одного из треугольников. Возьмем первый треугольник с катетами 12 см и 18 см:
12^2 + 18^2 = c^2,
144 + 324 = c^2,
468 = c^2.
Проведя вычисления, получаем, что c^2 = 468. Чтобы найти значение c, возьмем квадратный корень из обоих выражений:
c = √468,
c = 21.6 см (округляем до ближайшего целого числа).
Таким образом, получается, что длина каждой стороны ромба равна 21.6 см.
Чтобы найти периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами ромба, мы можем просто сложить длины всех сторон четырехугольника.
Периметр четырехугольника = 4 * длина стороны = 4 * 21.6 = 86.4 см.
Таким образом, периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины ромба, равен 86.4 см.