1.92. Через точку М, лежащую внутри угла с вершиной А, проведены прямые, параллельные сторонам угла и пересекающие эти стороны в точках В и С. Известно, что ZACB = 50°, а угол, смежный с углом АСМ, равен 40°. Найдите углы треугольников ВСМи АВС. СДЕЛАТЬ ЧЕРТЕЖ И ДАНО НАПИСАТЬ

Объяснение:

См. рисунок к задаче.

Пусть дан ΔАВС (АВ = ВС), Р(АВС) = 36 см, АВ : АС = 5 : 8. ВМ ⊥ АС,

ВМ = 6 см.

Найдем: 1) ВС; 2) Р(ВМС).

Т.к. АВ = ВС, то Р(АВС) = АВ + ВС + АС = 2АВ + АС.

Пусть АВ = (5х) см, АС = (8х) см, то составим и решим уравнение

2 · 5х + 8х = 36,

10х + 8х = 36,

18х = 36,

х = 36 : 18,

х = 2.

Значит, АВ = ВС = 5 · 2 = 10 (см), АС = 8 · 2 = 16 (см).

Т.к. ВМ - высота, проведенная к основанию АС, то по свойству равнобедренного треугольника ВМ - медиана, следовательно,

АМ = МС = АС/2 = 16 : 2 = 8 (см).

Тогда Р(ВМС) = ВС + ВМ + МС = 10 + 6 + 8 = 24 (см).

ответ: 1) 10 см; 2) 24 см.

По одному из свойств касательных, проведённых из одной точки, отмеченные лучи являются биссектрисами углов ∠CBА и ∠EDC соответственно; если углы ∠АВС и ∠CDЕ являются равными, то и образованные биссектрисами углы тоже равны (∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА); получаем ΔDОВ с равными углами ∠ОDВ=∠DВО; что значит, что ΔDОВ - равнобедренный; DO=ВО;

По свойству такого радиуса проведённый отрезок ОС будет перпендикулярен прямой ВD; те OC - высота ΔDOВ; по свойству равнобедренного треугольника OC является и медианой; значит, СD=СВ;

По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки ВС, ВА и DC, DЕ касательных попарно равны (те ВС=ВА и DC=DЕ); мы доказали, что DС=ВС; значит, ВС=ВА=DC=DЕ, ч.и.т.д.

Обратные теоремы действенны - нужно доказать тоже самое, только в обратную сторону. Поэтому напишу вкратце.

Если АВ=ВС=CD=DЕ, то при ОС⊥ВD ОВ=ОD (св-ва р/б Δ); тогда при ∠ОDВ=∠DВО и биссектрисах DO и ВО (∠ЕDО=∠ОDС и ∠СВО=∠ОВА) ∠ЕDО=∠ОDС=∠СВО=∠ОВА, ч.и.т.д.