1) АВСД-прямоугольник, диагонали которого пересекаются в точке М. Найти
площадь прямоугольника, если площадь треугольника ABM равна 5.
2) АВСД - равнобедренная трапеция, АВ=СД и AB= ВС, АД- большее
Основание. Найти больший угол трапеции, если <ACB = 21°.
3) Отрезки AB и СД пересекаются в точке О так, что треугольник АОД - равнобедренный,
АО - АД, <ДАО = 24° Найти <СОВ.
4) Дан треугольник АВС - равнобедренный, AB = BC, AM — высота и АВ = 5, AM = 4,ВМ=3. Вычислить тангенс угла ACB.
5) На окружности даны точки А,В,С так, что „АВ: „BC: AC = 2:5:11. Найти угол BAC. ​

Обозначил меньшее основание - а, большее основание - b. Тогда периметр трапеции, с учётом условия равенства меньшего основания и боковых сторон, можно записать так Р=3*а+b. Площадь трапеции выглядит так: S=1/2*(a+b)*h, подставим известные нам значения 128=1/2*(a+b)*8 или a+b=(128*2)/8; a+b=32. Выразим из последнего уравнения b и подставим его в уравнение периметра: b=32-a; P=3*a+32-a; получим 52=2*а+32; 2а=52-32; 2а=20; а=10 см. b=32-10=22 см. Получили, что боковые стороны и меньшее основание равны 10 см, а большее основание равно 22 см.

Решить треугольник - найти его характеристики по заданным условиям. Нам надо найти угол BAC, стороны AC и AB.
Найдём угол BAC:
BAC = 180° - (30° + 105°) = 180° - 135° = 45°
По теореме синусов найдём сторону AC:
(BC)/(sinBAC) = (AC)/(sinABC);
(3√2)/(√2/2) = (AC)/(1/2);
AC = (3√2 * 1/2)/(√2/2) = 3√2 * 1/2 * 2/√2 = (3√2)/(√2) = 3 см
По той же теореме синусов найдём сторону AB:
(AC)/(sinABC) = (AB)/(sinBCA);
sin105° = sin(50+50+5) = 0.766 + 0.766 + 0.0871 = 1.6191
(3)/(1/2) = (AB)/(1.6191);
AB = (3 * 1.6191)/(1/2) = 3 * 1.6191 * 2 = 9.7146 ≈ 10 см
ответ: угол BAC = 45°; AC = 3 см; AB = 10 см