1. Центр окружности лежит на стороне AC вписанного треугольника ABC. Найдите сторону АB треугольника, если AC = 10 см, ∠BАC = 60°.
а)2,5 см b) 5 см c) 5√3 см d) 7,5 см e) 10 см
2. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, О ∈ AB. Найдите градусную меру дуги AС, если ∠BАC = 40°.
a) 80° b)40° c)20° d)100° e)60°
3. Точки A, B и C лежат на окружности с центром в точке О. Найдите величину угла ВОС, если ∠BАC = 35°.
a) 70° b)35° c)17,5° d)45° e)90°
4.∠ABC вписан в окружность. Найдите величину дуги ВС, если дуга AB = 125°, а ∠ABC = 30°.
a) 220° b)205° c)175° d)60° e)25°
5. Сколько утверждений верны?
1) Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.
2) Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле R= ab/4c ( a, b, c – стороны треугольника) .
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис треугольника.
4) В четырехугольник можно вписать окружность, если сумма противолежащих углов равна 180°.
5) Если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
a)одно b)два c)три d)четыре e)пять
6. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 16 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
a) 4 см b) 8 см c) 9 см d) 10 см e) 12 см
7. Вокруг параллелограмма описали окружность. Тогда этот параллелограмм является
a) квадратом
b) ромбом
c) произвольным параллелограммом
d) прямоугольником
e) вокруг параллелограмма невозможно описать окружность
8. Хорды AB и CD окружности с центром О, пересекаются в точке K. Найдите ∠BKD, если дуга AC = 63°, а дуга BD = 23°.
a) 20° b) 40° c) 43° d) 46° e) 86°
9. Через точку М окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
a) 15° b) 20° c) 30° d) 60° e) 90°
10. Величина угла, образованного касательной и секущей, проведенными из точки В к окружности, равна 70°. С – точка касания, D и E – точки пересечения секущей с окружностью. Найдите величину дуги CE, если дуга. CD = 50°.
a) 100° b) 120° c) 140° d) 190° e) 220°
11. Из точки А проведены секущие AC и AE. AC пересекает окружность в точках B и C , AE – в точках D и E. BD = 30°, CE = 70°. Найдите ∠СAЕ.
a) 15° b) 20° c) 35° d) 50° e) 70°
12. Из точки М к окружности проведены касательная МА и секущая МС. Найдите длину отрезка МВ, если МА = 6 см, МС = 9 см
а) 3 см b) 3,6 см c) 4 см d) 4,5 см е) 6 см
13. Найдите длину отрезка MA, если из точки М к окружности проведены секущие МВ и MD. AВ = 2 см, СD = 5 см, MD = 8 см, C – точка пересечения секущей MD с окружностью, А – точка пересечения секущей MB с окружностью.
а) 1,2 см b) 3 см c) 4 см d) 6 см е) 7,5 см
14. Треугольник ABC вписан в окружность. CD – диаметр этой окружности. CD перпендикулярен стороне AB треугольника и пересекает ее в точке K. Найти AB,
если CB = 5 см, CK = 4 см.
а) 3 см b) 4 см c) 5 см d) 6 см е) 9 см
15. Две окружности касаются внешним образом. Радиусы этих окружностей относятся как 2:3, а расстояние между их центрами равно 20 см. Найдите диаметр большей окружности.
а) 12 см b) 16 см c) 20 см d) 24 см е) 40 см
16. В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Точка касания D делит сторону AB в отношении 1:2, считая от вершины А. Найдите сторону AB, если сторона AC равна 6 см.
а) 3 см b) 6 см c) 9 см d) 12 см е) 18 см
17. В прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.
а) 0,5 см b) 1 см c) 1,5 см d) 2 см е) 2,5 см
18. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если радиусы его вписанной и описанной окружностей равны соответственно 2 см и 5 см.
а) 10 см b) 14 см c) 18 см d) 21 см е) 24 см
Объяснение:
правильное условие задачи будет если S≤(a²+b²)/4
если это принять то задача имеет следующее решение
1) рассмотрим треугольник со сторонами a и b
приняв за основание a . площадь треугольника определяется по формуле
S=a*h/2 , где h - высота треугольника проведенная к стороне a
для остроугольного и тупоугольного треугольника h<b
а для прямоугольного треугольника h=b
⇒ у треугольника со сторонами a и b площадь будет максимальной если он будет прямоугольным и a, b его катеты
тогда справедливо неравенство ab/2≥S для любого треугольника
2) используем известное неравенство
среднее арифметическое двух положительных чисел больше среднего геометрического
(a+b)/2≥√ab
для чисел a² и b²
(a²+ b²)/2≥√(a²b²)
(a²+ b²)/2≥ab
разделим обе части неравенства на 2
(a²+ b²)/4≥ab/2
с учетом того что ab/2≥S получаем
(a²+ b²)/4≥ab/2≥S
или S≤(a²+b²)/4.
с² = а² + в², с = √а² + в² = √289 = 17 см
2. Построим в равнобедренной трапеции вторую высоту. Найдем длины отрезков от вершин основания трапеции до точки пересечения высот и этого основания:
(14 - 8) : 2 = 3 см (наши отрезки равны, т.к. трапеция равнобедренная по условию).
Мы видим, что у нас получились прямоугольные треугольники. Сторона трапеции является гипотенузой в этих треугольниках. Один из катетов мы только что нашли. Это 3 см. По теореме Пифагора находим второй катет треугольника, который является также и высотой трапеции:
с² = а² + в², отсюда а = √с² - в² = √5² - 3² = √16 = 4 см