1.Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость α и точку С – середину этого
отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α а точках А1, В1,
С1 соответственно. Найдите длину отрезка СС1, если АА1=12, ВВ1=6.
А) 6;
B) 9;
C) 6√2;
D) 9√2;
E) другой ответ.
2.Плоскости α и β параллельны плоскости γ, тогда плоскости α и β:
А) пересекаются;
В) совпадают;
С) параллельны;
D) скрещиваются:
Е) взаимное расположение плоскостей не определить.
3.Если угол между двумя прямыми равен 90°, то эти прямые:
A) пересекаются;
B) паралелльны;
C) скрещиваются;
D) перпендикулярны;
E) совпадают.
4.Через любые три точки не принадлежащие на одной прямой проходят:
А) одна прямая;
В) две различные плоскости;
С) одна плоскость;
D) параллельные прямые;
Е) две непересекающиеся плоскости;
5.Если две плоскости имеют общую точку, то они:
А) не имеют общей прямой;
В) пересекаются по прямой;
С) не имеют других общих точек;
D) олар параллель;
Е) пересекаются по двум пересекающимся прямым.
6.Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она:
А) не имеет с плоскостью других общих точек;
В) пересекается с плоскостью;
С) лежит в этой плоскости;
D) параллельна плоскости;
Е) не лежит в этой плоскости.
7.Через прямую и не принадлежащую ей точку проходят:
А) единственная плоскость;
В) единственная прямая;
С) две плоскости;
D) параллельные две плоскости;
Е) параллельные плоскости
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Cледовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому
PQ = AC·sin∠BCD. Aналогично, RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что
Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.
по формулам координат середины отрезка
находим координаты середины отрезка АС
(1;0.5)
находим координаты середины отрезка BD
(1;0.5)
как видим диагонали четырехугольника ABCD пересекаются и в точке пересечения делятся пополам (так как найденные координаты середины диагоналей одинаковы)
по признаку параллелограмма (Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм),
четырехугольник ABCD - параллелограмм
2. Теперь, найдем длины диагоналей
по формуле расстояния между двумя точками, заданными своими координатами
диагонали равны
по признаку прямоугольника (параллелограмм, у которого диагонали равны является прямоугольником)
- данный четырехугольник является прямоугольником
Доказано