1)Дан правильный тетраэдр DABC, ребро которого равно 4. Точки М, N, К, L – середины его ребер АD, ВD, ВС, АС соответственно. Найдите скалярное произведение векторов: а)АВ и АМ; б)АВ и АN; в)МN и LК; г)МL и КN. 2)Даны точки А(0;1;1), В(2;3;4), D(-3;4;5). Найдите: а)АВ*СD; б) DА*ВС.
3)Даны векторы а(1;5;1), b(1;-5;1) и с(2;1;1,5). Найдите: а)а*с+ b*с; б)а*с- b*с.
Полное решение прикрепляю.
Идея решения:
1) Сначала, используя основное свойство параллелограмма, находим АС. Напомню это свойство: AC^2 + BD^2 = 2*(AB^2 + AD^2).
2) Рассматриваем треугольник AKB. Из теоремы косинусов:
AB^2 = AK^2 + BK^2 - 2*AK*BK*cosAKB -
выражаем cosAKB.
3) Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1, - чтобы найти sinAKB. Так как угол AKB меньше 180 градусов, то его синус положительный.
4) Находим площадь параллелограмма через диагонали и угол между ними по формуле: S = 0,5*BD*AC*sinAKB. Вообще, строго говоря, нужно брать острый угол как угол между диагоналями, то есть угол CKB, но так как их синусы равны, то это не имеет значения.
5) Вспоминаем, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих (равных по площади) части, то есть площадь одной такой части будет равна одной четвертой площади параллелограмма. Отсюда площадь треугольника ABK S = Sпар/4.
Обозначим точку пересечения плоскости β отрезком CD буквой О.
DD1║CC1, CD- секущая, ⇒ накрестлежащие ∠D=∠C, вертикальные углы при О равны, ⇒ ∆ DOD1 подобен ∆ COC1 по первому признаку.
k=CC1:DD1=6/√3:√3=2
Тогда СО=2DO=²/₃ СD
ЕО=СО-СЕ
EO= \frac{2}{3} CD- \frac{1}{2} CD= \frac{1}{6} CDEO=
3
2
CD−
2
1
CD=
6
1
CD
∆ COC1 подобен ∆ EOE1 по первому признаку подобия ( ∠С=∠Е - соответственные при пересечении параллельных прямых ЕЕ1 и СС1 секущей CD, угол О - общий).
k= \frac{CO}{EO} = \frac{ \frac{2}{3} CD}{ \frac{1}{6} CD}= \frac{2*6}{3}= 4k=
EO
CO
=
6
1
CD
3
2
CD
=
3
2∗6
=4 ⇒
E E_{1}= \frac{6}{ \sqrt{3}}:4= \frac{6* \sqrt{3} }{ \sqrt{3}* \sqrt{3} *4}= \frac{ \sqrt{3}}{2} smEE
1
=
3
6
:4=
3
∗
3
∗4
6∗
3
=
2
3
sm