1. Дан треугольник KNP с прямым углом Р. Найдите тригонометрические функции острого угла:1) синус угла К; 2) косинус угла К; 3) тангенс угла К; 4) котангенс угла К. 14] 2. Два туриста одновременно вышли из лагеря. Первый шел на север со скоростью 2 км/ч, второй - на запад со скоростью 4 км/ч. Каким будет расстояние между ними через 5 часов. [4] 3. Для острого угла а найдите ѕіn a, tg a, ctg a, [6] если COS a =1/2
найдём гипатенузу АС треугольника АВС: по теореме Пифагора считаем АС²=АВ²+ВС² АС²=8²+8²=64+64=128 АС=√128=8√2 (см). проведём медиану ВК, которая будет являться радиусом окружности, который нам позже понадобится. В равнобедренном треугольнике медиана будет делить сторону АС на две равных части, тогда АК=8√2/2=4√2 (см). медиана ВК есть ещё и биссектриса, следовательно перед нами ещё один равнобедренный треугольник АВК, так что АК=ВК=4√2 (см). Теперь используем формулу для нахождения дуги окружности: L=2πr(ø/360°), где π-число пи; ø-центральный угол. для нашего случая используем эти стороны и углы: L=2π*BК(уголАВС/360°) подставим значения: L=2π*4√2(90°/360°)=2π√2≈8.885 (см). ответ: длина дуги, ограниченная треугольником АВС=2π√2 или ≈8.885 см.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, а центры окружностей лежат на биссектрисе угла ASB. Тогда SK - биссектриса и высота равнобедренного треугольника ASB т.е. SK⊥AB. Аналогично, SН⊥ CD, тогда КН - искомое расстояние между прямыми АВ и CD.
найдём гипатенузу АС треугольника АВС:
по теореме Пифагора считаем
АС²=АВ²+ВС²
АС²=8²+8²=64+64=128
АС=√128=8√2 (см).
проведём медиану ВК, которая будет являться радиусом окружности, который нам позже понадобится. В равнобедренном треугольнике медиана будет делить сторону АС на две равных части,
тогда АК=8√2/2=4√2 (см).
медиана ВК есть ещё и биссектриса,
следовательно перед нами ещё один равнобедренный треугольник АВК,
так что АК=ВК=4√2 (см).
Теперь используем формулу для нахождения дуги окружности:
L=2πr(ø/360°), где π-число пи; ø-центральный угол.
для нашего случая используем эти стороны и углы:
L=2π*BК(уголАВС/360°)
подставим значения:
L=2π*4√2(90°/360°)=2π√2≈8.885 (см).
ответ: длина дуги, ограниченная треугольником АВС=2π√2 или ≈8.885 см.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, а центры окружностей лежат на биссектрисе угла ASB. Тогда SK - биссектриса и высота равнобедренного треугольника ASB т.е. SK⊥AB. Аналогично, SН⊥ CD, тогда КН - искомое расстояние между прямыми АВ и CD.
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠MBS = ∠ODS = 90°.
Угол при вершине S общий для треугольников MBS и ODS, значит треугольники подобны по двум углам.
SM : SO = MB : OD = 36 : 45 = 4 : 5
SO = SM + MO, а МО = 36 + 45 = 81
SM : (SM + 81) = 4 : 5
5SM = 4SM + 324
SM = 324
ΔSBM: ∠SBM = 90°
cos∠SMB = BM / SM = 36 / 324 = 1/9
ΔMBK: ∠MKB = 90°
KM = MB · cos∠SMB = 36 · 1/9 = 4
∠SOD = ∠SMB так как треугольники подобны.
ΔODH: ∠OHD = 90°
OH = OD · cos∠SOD = 45 · 1/9 = 5
KH = KM + MO - OH
KH = 4 + 36 + 45 - 5 = 80