1. Дана величина угла вершины ∡ K равнобедренного треугольника RKP. Определи величины углов, прилежащих к основанию.

∡ K= 84°;

∡ R=
°;

∡ P=
°.

2. Величина одного из прилежащих к основанию углов равнобедренного треугольника — 12°. Определи величину угла вершины этого треугольника.

Решение: 
1) Рассмотри основание. Это квадрат АВСD, т.е АВ=ВС=СD=АD 
В нем диагональ АС= 2V2 см. 
В этом квадрате рассмотри треугольник АВС. Угол В=90 град., АВ=ВС, значит по теореме Пифагора: 
АС^2 = AB^2 + BC^2 = 2AB^2 => 
AB^2 = AC^2 / 2 = (2V2)^2 / 2 = 4 см^2 => 
AB = V4 = 2 см - сторона квадрата основания 
2) Точка S равноудалена от каждой стороны квадрата. Это значит, что расстояния AS=BS=CS=DS и проекция точки S на основание АВСD будет находиться в центре квадрата АВСD в точке О. 
3) Теперь рассмотри треугольник АОS. 
Угол АОS= 90 град. 
OS = 3 см 
АО = 1/2 AC = 1/2*(2V2) = V2 см 
По теореме Пифагора: 
AS=AO^2 + OS^2 = (V2)^2 + 3^2 = 2+9=11 см. 
4) Расстояние от точки S до стороны АВ измеряется перпендикуляром SK, проведенным из точки S к стороне АВ. Точка К лежит на АВ и 
АК=КВ=AB/2=2/2=1 cм 
Для этого рассмотри еще один треугольник - ASB. В нем: 
SA=SB= 11 см 
АВ =2 см => 
SA^2 = AK^2 + SK^2 => 
SK^2 = SA^2 - AK^2 = 11^1 - 1^2 = 121-1=120 
SK=V120=2V30 см

Пусть есть два треугольника ABC и A'B'C', углы A и A' равны, AB=A'B'; AC=A'C'. Докажем, что эти треугольники равны.

Будем накладывать эти треугольники. Сначала совместим точки A и A' и разместим треугольники так, чтобы лучи AB и A'B', а также лучи AC и A'C' оказали сонаправленными (это можно сделать, т.к. углы при вершине А равны)

Т.к. AB=A'B'; AC=A'C, то точки B и B', а также точки C и С' попарно совпадут. Но тогда совпадут и отрезки BC и B'C' - иначе через 2 точки проходило бы 2 прямые, что невозможно. Признак доказан.