1) Дано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якому АВ = 12, АD = 5, АА1 = 20. Через ребро A1B1 під кутом 60֩ до площини основи ABCD проведено
переріз. Знайдіть площу цього перерізу.
2) Основою піраміди є ромб, у якому один із кутів дорівнює 120֩. Дві бічні грані
піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи.
Дві інші бічні грані піраміди утворюють із площиною її основи кути по 45֩.
Висота піраміди дорівнює 5√3 см. Визначте об’єм цієї піраміди (у см3).
ВС^2=AB^2+AC^2 - 2*AB*AC*cosA=11^2+8^2 - 2*11*8*cos60=121+64-2*88*1/2=97
BC=√97 см
б)
AC^2=AB^2+BC^2 - 2*AB*BC*cosB=13^2+7^2-2*13*7*cos60=169+49-2*13*7*1/2=127
АС=√127 см
2
теорема косинусов
а)
cos120= - cos60
NP^2=MN^2+MP^2 -2 MN*MP*cos120=7^2+15^2-2*7*15*(-cos60)=
=49+225-2*7*15*(-1/2)=379
NP=√379 см
б)
NP^2=
3
cos120= - cos60
а) меньшую диагональ (ВD)
лежит напротив острого угла <60
BD^2=6^2+8^2-2*6*8*cos60=36+64-2*48*(1/2)=52
BD=√52=2√13 см
б) большую диагональ (АС)
лежит напротив тупого угла <120
AC^2=6^2+8^2-2*6*8*cos120=36+64-2*48*(-1/2)=148
AC=√148=2√37 см
4
а) его стороны равны 8 мм и 10 мм, а одна из диагоналей равна 14 мм;
14^2=8^2+10^2 -2*8*10*cos<A
196=64+100 - 160*cos<A
32= - 160*cos<A
cos<A= - 32/160 =-1/5= -0.2
б) его стороны равны 12 дм и 14 дм, а одна из диагоналей равна 20 дм.
20^2=12^2+14^2 -2*12*14*cos<B
400=144+196-336* cos<B
60 =-336* cos<B
cos<B = - 60/336 = - 5/28
5
диагональ (d)и две стороны (a) (b) образуют треугольник
значит третий угол треугольника <A=180-20-60=100 град
дальше по теореме синусов
a/sin20=b/sin60=d/sinA=25/sin100
a=sin20*25/sin100=0.3420*25/0.9848=8.7 см
b= sin60*25/sin100=√3/2*25/0.9848=22 см
6
угол <С=180-<A-<B=180-30-40=110
по теореме синусов
AC/sin<B=BC/sin<A=AB/sin<C=2R
AC/sin40=BC/sin30=16/sin110
AC=sin40*16/sin110= 0.6428 *16/0.9397=10.94 см =11 см
BC= sin30*16/sin110=1/2*16/0.9397= 8.5 см
радиус описанной окружности
AB/sin<C=2R
R= AB/(2*sin<C)=16 / (2*sin110)=8/ sin110 = 8.5 см
7
8
углы параллелограмма А и В - односторонние
<A - напротив диагонали d1
<B=180-<A - напротив диагонали d2
cosA= - cosB=
d1^2=a^2+b^2-2ab*cosA
d2^2= a^2+b^2-2ab*cosB = a^2+b^2-2ab*(-cosA)= a^2+b^2+2ab*cosA
d1^2+d2^2 = a^2+b^2-2ab*cosA + a^2+b^2 +2ab*cosA = a^2+b^2 + a^2+b^2 = 2 *( a^2+b^2 )
ДОКАЗАНО сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов (ЧЕТЫРЕХ)сторон
9
10
11
12
13
Вроде это, Заранее незочто
1)ответ:
V = 5√3/6 ед³.
Sбок = 144 ед².
Объяснение:
Судя по тому, что ∠АВС= 120°, параллелепипед не прямоугольный, а прямой. Это "две большие разницы".
Итак, высота параллелепипеда равна 9см, а в основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со стороной ВС = 5 см, диагональю АС=7см и углом АВС = 120°. По теореме косинусов попробуем найти сторону АВ.
АС² =АВ²+ВС² - 2·АВ·ВС·Cos120. Cos120 = -Cos60 = - 1/2.
49 = AB²+25 - 2·AB·5·(-1/2) =>
АВ²+5·АВ -24 =0 => AB = 3cм
So = AB·BC·Sin120 = 3·5·√3/2.
V = So·h = (3·5·√3/2)·9 = 5√3/6 ед³. (площадь основания, умноженная на высоту).
Sбок = Р·h = 2(3+5)·9 = 144 ед² ( периметр, умноженный на высоту)
2)Обозначим радиус основания конуса R, высоту Н.
По заданию угол, тангенс которого равен Н/R, равен 30 градусов.
Н/R = tg30° = √3/3.
Отсюда Н = R√3/3 см.
Площадь сечения S = (1/2)*2R*H =RH = R*(R√3/3) = R²√3/3 см².
Приравняем по заданию: R²√3/3 = 9√3 см².
R² = 9*3, а R = 3√3 см.
Высота Н = R√3/3 = (3√3)*(√3/3) = 3 см.