1)Дано прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ.Побудуйте: а)відрізок симетричний катету АС відносно т.В;
б) кут симетричний куту АСВ відносно прямої АВ.​

1)  Пусть наша пирамида   , опустим высоту  , тогда рассмотрим прямоугольный треугольник 
с прямым углом .  
 
Тогда угол между ребром и  плоскости основания   
Рассмотрим прямоугольный треугольник    где 
  середина стороны  
  тогда  
 из прямоугольного треугольника      
 это угол между боковой гранью и основанием  
2)   Пусть нам дана пирамида     , тогда опустим высоту  
Откуда  
 обозначим сторону квадрата как  , тогда 
 
 Найдем высоту боковой грани , рассмотрим треугольник  - где  середина стороны  основания . 
Откуда высота грани равна по теореме Пифагора 
  
  Тогда площадь боковой поверхности равна    
   где   - полупериметр основания он равен 
 
 
 3) По теореме синусов найдем радиус описанной окружности он будет катетом , если провести высоту , и рассмотреть прямоугольный треугольник образованный высотой , боковой гранью  и радиусом описанной окружности       . 
   
 тогда из прямоугольного треугольника , получим  что высота будет равна радиусу описанной окружности так как углы равны по   - равнобедренный треугольник 
 
  
  

Так как точки М, N, K - середины сторон, а также исходя из того что треугольник равнобедренный и все его стороны равны AB=BC=AC делаем вывод что AM=MB=BN=NC=AK=KC. 
Так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов, то треугольники AMK, MBN и NCK равнобедренные (AM=AK в треугольнике AMK, MB=BN в треугольнике MBN, NC=KC в треугольнике KNC) и каждый из них имеет один угол в 60 градусов. Исходя из того что 2 угла у основы равнобедренного треугольника равны решаем уравнение х+х+60=180градусов. Получаем х=60 градусов, то есть все углы треугольников AMK, MBN и KNC равны 60 градусов, значит это равнобедренные треугольники, а раз они равнобедренные то все их стороны равны. то есть AM=AK=MK, MB=BN=MN, KC=NC=NK, ТО ЕСТЬ AM=AK=MK=MB=BN=MN=KC=NC=NK, значит MK=MN=NK =) MNK-равносторонний