1. даны два вектора т{— 2; 1; — 1} и п{1; 3; 2}. найдите
12 т — п и 12 т — п.
2. в параллелограмме abcd диагонали пересекаются в точке
0, a (1; 3; — 1), в (— 2; 1; 0), о(0; 1,5; 0).
1) найдите координаты вершин c и d.
2) найдите длину стороны вс.
3) разложите вектор ad по векторам і, ти ќ.
a) Для вычисления 12т - п умножим каждую компоненту вектора т на 12 и вычтем из него каждую компоненту вектора п:
12т - п = 12 * (-2) - 1; 12 * 1 - 3; 12 * (-1) - 2 = -24 - 1; 12 - 3; -12 - 2 = -25; 9; -14
b) Для вычисления 12т - п умножим каждую компоненту вектора п на 12 и вычтем из него каждую компоненту вектора т:
12п - т = 12 * 1 - (-2); 12 * 3 - 1; 12 * 2 - (-1) = 12 + 2; 36 - 1; 24 + 1 = 14; 35; 25
2. Решение второй задачи:
a) Для нахождения координат вершин c и d в параллелограмме abcd воспользуемся свойством диагоналей, пересекающихся в точке 0:
Так как диагонали в параллелограмме равны и точка 0 является их точкой пересечения, то координаты вершины c будут равны координатам вершины a, а координаты вершины d будут равны координатам вершины b:
c = a = (1; 3; -1)
d = b = (-2; 1; 0)
b) Длина стороны вс параллелограмма abcd можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
l = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)
где l - длина стороны, (x1, y1, z1) - координаты одной вершины, (x2, y2, z2) - координаты другой вершины.
Для расчета стороны ab возьмем координаты вершин a = (1, 3, -1) и b = (-2, 1, 0):
l(ab) = √((-2 - 1)^2 + (1 - 3)^2 + (0 - -1)^2) = √((-3)^2 + (-2)^2 + (1)^2) = √(9 + 4 + 1) = √14
c) Разложение вектора ad по векторам і, т, ќ можно выполнить с помощью формулы:
ad = α * і + β * т + γ * ќ
где α, β, γ - коэффициенты при векторах і, т, ќ, которые нужно найти.
Для нахождения коэффициентов воспользуемся системой уравнений, составленной из равенств компонент вектора ad и произведения этих компонент на соответствующие коэффициенты:
A: 1 = α - 2β
B: 3 = α + β
C: -1 = γ
Решив систему уравнений, найдем значения коэффициентов:
Из уравнения C: γ = -1
Из уравнения B: α + β = 3 ⇒ β = 3 - α
Подставим значение β в уравнение А: α - 2(3 - α) = 1
Теперь решим это уравнение:
α - 6 + 2α = 1 ⇒ 3α = 7 ⇒ α = 7/3
Теперь найдем β, используя найденное значение α:
β = 3 - α = 3 - 7/3 = 2/3
Итак, коэффициенты разложения вектора ad по векторам і, т, ќ равны α = 7/3, β = 2/3, γ = -1, и разложенный вектор ad имеет вид:
ad = (7/3) * і + (2/3) * т + (-1) * ќ