1) Даны точки A (2; -1; /2), C (1; -2; 0), B (1; -3; 0), D (2; -2; 0). Найдите угол между векторами CA и DB.
2) Длины векторов т и п равны 3 и 2, угол между ними равен 150°.
Найдите скалярное произведение n(m +n).
3) Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 4b, точка E - середина отрезка В В.
Найдите:
a) расстояние между серединами отрезков АЕ и BD,;
б) угол между прямыми AE и BD.

Хорошо, давайте начнем с первого вопроса. 1) Для нахождения угла между векторами CA и DB нам необходимо найти скалярное произведение этих векторов и поделить его на произведение их длин, затем применить обратный косинус (арккосинус) к полученному значению. Для начала, найдем векторы CA и DB: Вектор CA: CA = A - C = (2 - 1, -1 - (-2), 1 - 0) = (1, 1, 1) Вектор DB: DB = B - D = (1 - 2, -3 - (-2), 0 - 0) = (-1, -1, 0) Теперь найдем скалярное произведение векторов CA и DB: CA · DB = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(0) = -1 - 1 + 0 = -2 Найдем длины векторов CA и DB: |CA| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √(3) = √3 |DB| = √((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2) = √2 Теперь можем найти угол между векторами CA и DB: θ = arccos((-2) / (√3 * √2)) Вычислим это значение приближенно, используя калькулятор: θ ≈ 109.47 градусов Ответ: Угол между векторами CA и DB примерно равен 109.47 градусов. 2) По заданию, длины векторов т и п равны соответственно 3 и 2, а угол между ними равен 150 градусам. Для нахождения скалярного произведения n(m + n) нам нужно найти сначала векторное произведение м и н, а затем найти скалярное произведение этого вектора с вектором n. Начнем с нахождения векторного произведения м и н: m x n = |m| |n| sin(θ) u где |m| и |n| - длины векторов м и н, θ - угол между ними, а u - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат векторы м и н. Подставляя значения: sin(θ) = sin(150 градусов) = sin(π / 180 * 150) = sin(5π / 6) = √3 / 2 |m| = 3 |n| = 2 Теперь можно вычислить векторное произведение: m x n = (3)(2)(√3 / 2) u = 3√3 u Затем найдем скалярное произведение вектора m x n с вектором n: (n) · (m x n) = (2) · (3√3 u) = 6√3 Ответ: Скалярное произведение n(m + n) равно 6√3. 3) Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 4b, точка E - середина отрезка В В. а) Чтобы найти расстояние между серединами отрезков АЕ и ВD, нам необходимо найти векторы AE и BD, затем найти их среднее арифметическое. Для начала найдем координаты точки E, используя середину отрезка ВВ (точку B'): B' = (1/2)(B + B1) = (1/2)((1, -3, 0) + (1, -3, 4b)) = (1, -3, 2b) Теперь найдем векторы AE и BD: Вектор AE: AE = E - A = (1, -3, 2b) - (2, -1, b/2) = (-1, -2, 2b - b/2) = (-1, -2, 3b/2) Вектор BD: BD = D - B = (2, -2, 0) - (1, -3, 0) = (1, 1, 0) Найдем среднее арифметическое векторов AE и BD: AEDB = (AE + BD) / 2 = ((-1, -2, 3b/2) + (1, 1, 0)) / 2 = (0, -1, 3b/4) Теперь найдем длину вектора AEDB: |AEDB| = √(0^2 + (-1)^2 + (3b/4)^2) = √(1 + 9b^2 / 16) Ответ: Расстояние между серединами отрезков АЕ и ВD равно √(1 + 9b^2 / 16). б) Чтобы найти угол между прямыми AE и BD, нам нужно найти направляющие векторы данных прямых и применить формулу для нахождения угла между двумя прямыми, заданными векторами. Найдем направляющие векторы прямых AE и BD: Направляющий вектор прямой AE: u1 = (-1, -2, 3b/2) Направляющий вектор прямой BD: u2 = (1, 1, 0) Теперь вычислим косинус угла между направляющими векторами: cos(θ) = (u1) · (u2) / (|u1| |u2|) где (u1) · (u2) - скалярное произведение векторов u1 и u2, и |u1| и |u2| - их длины. (u1) · (u2) = (-1)(1) + (-2)(1) + (3b/2)(0) = -1 - 2 = -3 |u1| = √((-1)^2 + (-2)^2 + (3b/2)^2) = √(1 + 4 + 9b^2 / 4) = √(5 + 9b^2 / 4) |u2| = √((1)^2 + (1)^2 + 0^2) = √(2) Теперь можем вычислить косинус угла: cos(θ) = -3 / (√(5 + 9b^2 / 4) * √(2)) Ответ: Угол между прямыми AE и BD равен arccos(-3 / (√(5 + 9b^2 / 4) * √(2))).