1. Даны точки А(4;2), В(5;-1). Найти координаты середины отрезка АВ. 2. АВСD – параллелограмм. А(4;3), В(2;8), С(0;6) . Найти координаты середины диагонали АС.
3. Дан треугольник АВС. А( 1;6), В( 4;8), С(4;-2). Найти длину медианы АК, где К-середина стороны ВС.
4. Найти координаты середины медианы РD треугольника МРК, если М(0;5), Р(4;2), К(6;-4).
a) (3,5;1,25)
b) (1,25;3,5)
c) (3;0,5)
5. В окружности с центром N проведён диаметр MK. Найти координаты центра окружности и её радиус, если М(-3;0), К(3;0).
a) (2;2) и 4;
b) (0;0) и 3;
c) (0;3) и 3.
x = (x₁ + x₂) / 2
y = (y₁ + y₂) / 2
Где (x₁, y₁) - координаты точки A, (x₂, y₂) - координаты точки B.
В данном случае:
x = (4 + 5) / 2 = 9 / 2 = 4.5
y = (2 + (-1)) / 2 = 1 / 2 = 0.5
Таким образом, координаты середины отрезка АВ равны (4.5, 0.5).
2. Для нахождения координат середины диагонали АС параллелограмма АВСD, мы можем использовать аналогичную формулу. Диагональ АС соединяет точки A(4, 3) и C(0, 6).
x = (x₁ + x₂) / 2
y = (y₁ + y₂) / 2
В данном случае:
x = (4 + 0) / 2 = 4 / 2 = 2
y = (3 + 6) / 2 = 9 / 2 = 4.5
Таким образом, координаты середины диагонали АС равны (2, 4.5).
3. Для нахождения длины медианы АК треугольника АВС нам необходимо найти координаты точки К, которая является серединой стороны ВС. Затем мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
где (x₁, y₁) - координаты точки A, (x₂, y₂) - координаты точки K.
В данном случае:
Координаты середины стороны ВС равны:
x = (4 + 4) / 2 = 8 / 2 = 4
y = (8 + (-2)) / 2 = 6 / 2 = 3
Таким образом, координаты точки К равны (4, 3).
Теперь мы можем использовать формулу для расстояния между точками А и К:
d = sqrt((4 - 1)² + (3 - 6)²) = sqrt(3² + (-3)²) = sqrt(9 + 9) = sqrt(18) ≈ 4.24264.
Таким образом, длина медианы АК примерно равна 4.24264.
4. Чтобы найти координаты середины медианы РD треугольника МРК, нужно сначала найти координаты точки P(3, 3) - середины стороны МК, а затем применить формулу для нахождения координат середины отрезка, как в задаче 1.
Координаты точки P равны:
x = (0 + 6) / 2 = 6 / 2 = 3
y = (5 + (-4)) / 2 = 1 / 2 = 0.5
Таким образом, координаты точки P равны (3, 0.5).
Теперь можно применить формулу для нахождения координат середины отрезка PD:
x = (4 + 3) / 2 = 7 / 2 = 3.5
y = (2 + 0.5) / 2 = 2.5 / 2 = 1.25
Таким образом, координаты середины медианы РD треугольника МРК равны (3.5, 1.25).
Ответ: a) (3.5, 1.25).
5. Чтобы найти координаты центра окружности и её радиус, мы можем использовать формулы для нахождения координат точки, находящейся на середине отрезка, и формулу для нахождения расстояния между двумя точками.
Координаты центра окружности равны:
x = (x₁ + x₂) / 2
y = (y₁ + y₂) / 2
В данном случае:
x = (-3 + 3) / 2 = 0 / 2 = 0
y = (0 + 0) / 2 = 0 / 2 = 0
Таким образом, координаты центра окружности равны (0, 0).
Теперь найдём радиус окружности, который равен половине длины диаметра MK:
r = (sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)) / 2
В данном случае:
r = (sqrt((3 - (-3))² + (0 - 0)²)) / 2 = (sqrt(6² + 0²)) / 2 = sqrt(36) / 2 = 6 / 2 = 3
Таким образом, радиус окружности равен 3.
Ответ: b) (0, 0) и 3.