1. Даны векторы {4;−8}, {0;3}, {7;−1}, {1;−2}, {2;5} (a) Найдите все попарно коллинеарные вектора
(b) Найдите , такое что вектор {; 2,5} коллинеарен вектору
(c) Найдите координаты следующих векторов:
→− i. 3 →−
ii. 1,2 →−
iii. 0,6 →−
→− iv. 2 − 3 →−
→− v.2,3 −3 +2 −0,4
→−
→−
2. Даны точки (3; 4), (2; 4), (3; 7), (4; −2).
−→ −→ −→ −→ −→
(a) Найдите координаты векторов: , , , , −→ −→ −→ −→ −→
(b) Найдите длины векторов , , , ,
(c) Найдите координаты точек 1, 2, 3, 4 являющимися середи- нами отрезков , , , соответсвтенно.
а) По теореме косинусов:
Находим косинус по таблице Брадиса, получаем, что угол АОВ = примерно 84 градуса.
б) Если АВ=3, то треугольник АОВ равносторонний, а значит, угол АОВ=60 градусов.
в) Если АВ меньше 0,1, то по теореме косинусов
Находим угол, косинус которого равен 0,1110. Это угол 83 градуса 38 минут, значит, угол АОВ < 83 градуса 38 минут.
г) Если АВ больше 4, то по теореме косинусов
Значит, угол AOB>89 градусов 18 минут.
д) Пусть расстояние от центра до хорды равно 2х, тогда и хорда АВ=2х. Расстояние - это перпендикуляр, опущенный из точки О. Пусть он пересечёт АВ в точке Н, тогда АН=НВ=х. По теореме Пифагора
Значит, АВ=
а угол АОВ=86 градусов 11 минут.
е) Пусть вторая хорда будет АС, точка А у них будет общая. АС перпендикулярно АВ и АС=АВ. угол А прямой и он вписан, значит, ВС - диаметр окружности, точка О лежит на отрезке ВС и ОВ=ОС, а значит ОА - это медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, угол АОВ=90 градусов.
А - центр большей окружности,
угол А=60º
Н -точке касания вписанной в сектор окружности с дугой.
ВС - касательная к точке H.
∠АНС=∠ВНС=90º
Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.
АН- биссектриса∠ВАС
∠ВАН=САН=30º
∆ ВАН= ∆ САН
∠АВС=∠АСВ=60º
∆ АВС - равносторонний с высотой АН=R=4 см
Радиус r вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 её высоты.
r =4/3 см
Ѕ=πr²=(4/3)² π=16/9π см²