1) диагонали плоского четырехугольника abcd пересекаются в точке o. из точки o проведены перпендикуляр om к прямой ab и перпендикуляр ok к плоскости четырехугольника. докажите, что угол между прямыми mk и ab прямой. найдите расстояние от точки b до плоскости okm, если km=корень из 3, угол mkb=30 градусов. 2) в треугольнике abc ac=bc=10 см, угол в=30 градусам. прямая bd перпендикулярна плоскости треугольника, bd=5 см. найдите расстояние от точки d до прямой ас и расстояние от точки в до плоскости adc.

1. a) КО - перпендикуляр к плоскости АВСД.

КМ - наклонная, перпендикуляр ОМ - проекция наклонной. Теорема о 3-х перпендикулярах: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. ⇒

АВ⊥КМ и ∠КМВ=90°

б) ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым КМ и ОМ на плоскости КМО ⇒ ВМ перпендикулярна плоскости КМО, и длина отрезка ВМ - расстояние от т.В до плоскости ОКМ. 

∆ ВКМ прямоугольный. ВМ=КМ•tg30°=√3•(1/√3)=1

—————————

2. В ∆ АВС АС=ВС=10 см. ⇒∆ АВС - равнобедренный. 

Угол А при основании равнобедренного ∆ АСВ  равен углу В=30°. ⇒ 

угол С=180}-2•30°=120°

а) Расстояние от D до прямой АС - длина перпендикуляра DН, проведенного из D к прямой АС. 

DH⊥АС. Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. ⇒ 

∆ ВНС -прямоугольный. 

Угол ВСН=180°-угол ВСА=180°-120°=60°(смежный углу С)

ВН=ВС•sin60°=10•√3/2=5√3

Т,к. BD перпендикулярна плоскости АВС, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в той же плоскости. ∆ DBH- прямоугольный. 

По т. Пифагора 

DH=(√BD*+BH*)=√(25+75)=10 см. 

Плоскости DBH и DHC  перпендикулярны. (Если одна из двух плоскостей проходит через прямую (BD), перпендикулярную другой плоскости (ABH), то такие плоскости перпендикулярны.)

  Расстояние от точки до плоскости - это длина перпендикуляра, опущенного из заданной точки к заданной плоскости. 

Искомое расстояние -  расстояние от вершины прямого угла В до гипотенузы  ∆ ВDH, т.е. равно высоте, проведенной к гипотенузе. 

S (BDH)=0,5•BD•BH

S (BDH)=0,5•BK•DH⇒

 BD•BH=BK•DH 

5•5√3=BK•10⇒

BK=2,5√3 см.