1) Диагонали прямоугольника MNSR пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника MON, если угол MON равен 30°. 2) На стороне NS параллелограмма MNSR взята точка A так, что AS=SR
а) Доказать, что RA-биссектриса угла SRM
б) Найдите периметр, если NA=5 см, MR=9 см
3) Сторона параллелограмма в 3 раза больше смежной стороны. Найти, если периметр равен 40 м
Поскольку угол MON равен 30°, мы знаем, что сумма углов MNO и ONM также равна 180°.
Поскольку диагонали MN и SR пересекаются, то углы ONS и MSR равны друг другу.
Получаем следующую систему уравнений для нахождения углов треугольника MON:
Угол MNO + угол ONM = 180° (1)
Угол MNO = 30° (2)
Угол ONM = угол ONS + угол MSR (3)
Угол ONS = угол MSR (4)
Подставим значение угла MNO из уравнения (2) в уравнение (1):
30° + ONM = 180°
ONM = 150°
Теперь подставим значение ONM в уравнение (3):
ONM = ONS + MSR
150° = ONS + ONS
150° = 2 ONS
Разделим обе части уравнения на 2:
150°/2 = ONS
75° = ONS
Таким образом, углы треугольника MON равны:
MNO = 30°
ONM = 150°
ONS = 75°
2) а) Чтобы доказать, что RA-биссектриса угла SRM, нам необходимо показать, что угол MSR делится пополам линией RA.
Обратите внимание, что AS=SR, а значит, угол ASR равен углу SAR. Далее, поскольку угол MAR - это внешний угол треугольника MSR, то угол MSR равен сумме углов MAR и ARM. Но так как ARM = MAR (так как это сторона параллелограмма), то угол MSR делится пополам линией RA.
б) Чтобы найти периметр, мы должны сложить длины всех сторон параллелограмма MNSR.
Согласно условию, NA = 5 см и MR = 9 см. Осталось найти длины других двух сторон.
Так как AS = SR, то AS = 9 см. А так как NA = 5 см, то NR = AS - NA = 9 см - 5 см = 4 см.
Теперь мы можем найти периметр:
Периметр = NA + AS + SR + MR
Периметр = 5 см + 9 см + 9 см + 4 см
Периметр = 27 см
Таким образом, периметр параллелограмма MNSR равен 27 см.
3) Пусть сторона параллелограмма равна Х. Тогда смежная сторона будет равна Х/3.
Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон:
40 м = X + X + Х/3 + Х/3
Переведем метры в сантиметры, чтобы убедиться в однородности единиц измерения:
40 м = 4000 см
Приведем уравнение к общему знаменателю:
4000 = 6X/3 + 2X/3 + 2X/3
Упростим выражение:
4000 = 2X + 2X + 2X
4000 = 6X
Разделим обе части уравнения на 6:
4000/6 = X
666.67 ≈ X
Таким образом, длина стороны параллелограмма равна примерно 666.67 см. Ее смежная сторона равна 666.67/3 ≈ 222.22 см.