1.докажите, что если диагонали параллелограма равны, то он является ромбом.
2.один из углов прямоугольника равен 120°, а диагональ, исходящая из вершины этого угла равна 12см. найдите периметр ромба.
3.докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Объем конуса находят по формуле: V = 1/3 · Sосн · H, где Sосн - площадь основания, H - высота. В основании - круг, Sосн = πR², где R - радиус основания.

Пусть дан конус (см. рис.) . SО - высота, SВ - образующая, ОВ - радиус. По условию SО : SВ = 4 : 5 и V = 96π см³.

ΔSОВ - прямоугольный. Если принять, что SО = (4х) см, SВ = (5х) см, то по теореме Пифагора ОВ² = SВ² - SО² = (5х)² - (4х)² = 25х² - 16х² = 9х², откуда, учитывая, что длины сторон положительны, ОВ = 3х (см).

Подставляем полученные выражения в формулу объема:

V = 1/3 · πR² · H = 1/3 · π · ОВ² · SО = 1/3 · π · (3х)² · 4х = 12πх³ = 96π, т.е.

12πх³ = 96π,

х³ = 8,

х = 2.

Тогда ОВ = 3 · 2 = 6 (см), SB = 5 · 2 = 10 (см).

Площадь полной поверхности конуса равна:

Sполн = Sосн + Sбок = πR² + πRL = πR(R + L), где R - радиус основания, L - образующая конуса.

Значит, Sполн = π · ОВ · (ОВ + SВ) = π · 6 · (6 + 10) = 6π · 16 = 96π (см²).

ответ: 96 см².

По условию задания составим уравнение расстояния произвольной точки М(х; у) от точки А(3; -4) в 3 раза большего, чем от точки М до прямой х = 5.

√((3 - x)² + (y - (-4))²) = |3*(5 - x)|.

Модуль в правой части взят, чтобы длина не была отрицательной для точек, расположенных правее линии х = 5.

Возведём обе части в квадрат.

9 - 6x + x² + y² + 8y + 16 = 9*(25 - 10x + x²).,

Приведём подобные: 8x² - 84x - y² - 8y + 200 = 0.

Выделим полные квадраты.

8(x² - 10,5x + 5,25²) - 8*5,25² - (y² + 8y + 16) - 16 + 200 = 0.

8(x - (21/4))² - (y + 4)² = (9/2).

Разделим обе части на (9/2).

((x - (21/4))²)/(9/16) - ((y + 4)²)/(9/2) = 1.

Получено искомое уравнение. Это уравнение гиперболы.

Центр её расположен в точке ((21/4); -4).

Полуоси: действительная равна а =√(9/16) = 3/4, мнимая b = 3/√2.

Найдем координаты ее фокусов: F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами  

Определим параметр c: c² = a² + b² = 9/16 + 9/2 = 81/16 .

c = 9/4.  

Тогда эксцентриситет будет равен: е = с/а = (9/4)/(3/4) = 3.

Более детальное решение приведено во вложении. Там же дан график полученной линии.