1. докажите, что плоскость, проведенная через середины ребер ad, dc и dd1 куба abcda1b1c1d1 , параллельна плоскости (
2. даны две параллельные плоскости о и и не лежащая между ними точка к. две прямые, проходящие через эту точку, пересекают ближнюю плоскость о в точках а и а2, а дальнюю - в - соответственно в точках в1 и в2. найдите длину отрезка в в2, если aja2 = 9см, а ka1: a b1 = 2: 7.
1. Для доказательства параллельности двух плоскостей нужно показать, что их нормальные векторы коллинеарны. Нормальный вектор плоскости можно найти как векторное произведение двух ненулевых векторов, лежащих в плоскости. В данном случае задача сводится к поиску нормальных векторов этих плоскостей.
Пусть координаты вершин куба A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).
Найдем координаты середины ребра AD:
x = (0 + 0) / 2 = 0
y = (0 + 1) / 2 = 0.5
z = (0 + 0) / 2 = 0
Середина ребра AD имеет координаты (0, 0.5, 0).
Аналогично найдем координаты середин ребер DC и DD1:
середина ребра DC: (1, 0.5, 0)
середина ребра DD1: (0, 0.5, 0.5)
Теперь построим вектора, соединяющие эти середины: AD, DC и DD1:
AD = (0, 0.5, 0) - (0, 0, 0) = (0, 0.5, 0)
DC = (1, 0.5, 0) - (0, 0.5, 0) = (1, 0, 0)
DD1 = (0, 0.5, 0.5) - (0, 0.5, 0) = (0, 0, 0.5)
Теперь найдем векторное произведение векторов AD и DC:
AD x DC = (0, 0.5, 0) x (1, 0, 0) = (0 * 0 - 0.5 * 0, 0 * 0 - 0 * 1, 0 * 0.5 - 0.5 * 1) = (0, 0, -0.5)
Координаты найденного вектора равны (0, 0, -0.5). Этот вектор является нормальным вектором плоскости, проходящей через середины ребер AD и DC.
Аналогичным образом найдем векторное произведение векторов DC и DD1:
DC x DD1 = (1, 0, 0) x (0, 0, 0.5) = (0 * 0.5 - 0 * 0, 0 * 0 - 1 * 0, 1 * 0 - 0 * 0.5) = (0, 0, 0)
Координаты найденного вектора равны (0, 0, 0). Этот вектор является нормальным вектором плоскости, проходящей через середины ребер DC и DD1.
Таким образом, получаем, что нормальные векторы обеих плоскостей, проведенных через середины ребер AD, DC и DD1, параллельны оси Z. Следовательно, эти плоскости параллельны.
2. Дано, что плоскости о и о параллельны, а точка К не находится между ними. При этом две прямые, проходящие через эту точку, пересекают плоскость о в точках А и А2, а плоскость О1 - в точках В1 и В2. Нам нужно найти длину отрезка ВВ2.
Поскольку прямые АК и КВ2 пересекаются в точке В, значит, отрезок ВВ2 будет являться общим отрезком этих двух прямых.
Из условия задачи дано, что отношение длин отрезков КА1 и А1В1 равно 2:7, то есть КА1 = 2/7 * А1В1.
Пусть х - длина отрезка АК, при этом длина отрезка КА1 будет равна 2/7 * х.
Также, воспользуемся подобием прямоугольных треугольников АКВ и А1В1К, поскольку углы при прямых углах в этих треугольниках равны.
Из подобия треугольников получаем следующие отношения:
А1В1/АК = АК/КВ1
Подставляем известные значения:
А1В1 / х = х / В1К
А1В1 = х^2 / В1К
Также, из подобия треугольников получаем следующее отношение:
АК/А1К = КА1/КА
Подставляем значения:
х / (2/7 * х) = (2/7 * х) / 9
х^2 = 9 * 2/7 * х
х = 3 * 2/7 = 6/7
Теперь остается найти длину отрезка В1К.
Поскольку точка К не лежит между плоскостями О и О1, то треугольник В1О1К будет являться прямоугольным треугольником.
Обозначим В1К = а, В1О1 = b, КО1 = c.
В1К^2 + В1О1^2 = КО1^2 (теорема Пифагора)
а^2 + а^2 + В1О1^2 = c^2
2а^2 + В1О1^2 = c^2
Из подобия треугольников АКВ и А1В1К, мы знаем, что В1О1 / КВ1 = АВ / КА
Подставим значения:
б / а = 9 / (6/7) = 63/6 = 10.5
Теперь, подставим это значение в уравнение:
2а^2 + (10.5a)^2 = c^2
2a^2 + 110.25a^2 = 111.25a^2 = c^2
c = sqrt(111.25a^2) = 10.55a
Теперь, найдем длину отрезка ВВ2:
ВВ2 = (c - а) = (10.55a - а) = а * 9.55
Подставим значение а:
ВВ2 = (6/7) * 9.55 = 8.18 (округляем до двух знаков после запятой)
Таким образом, длина отрезка ВВ2 равна 8.18 см.